Contents
- ページ1
- 1 円の方程式の一般形
- ページ2
- 1 円の方程式の標準形
- ページ3
- 1 円のベクトル方程式
- ページ4
- 1 ２曲線の交点を通る曲線の方程式
- ページ5
- 1 ３点を通る円の方程式を簡単に求める方法
- 2 まとめ
３点を通る円の方程式を簡単に求める方法
ヒロ
２点 ${\mathrm A}(-2,6),{\mathrm B}(1,-3)$ を直径の両端とする円 $C$ と直線 AB を描いてみよう。
こうなりました。
ヒロ
ここで円 $C$ と直線 AB の交点はどんな点になってる？
２点 A, B ですよね・・・？
ヒロ
そうだよね？ということは，円 $C$ と直線 AB の交点を通る円はどんなものでも２点 A, B を通る円だと言えるよね？
つまり，２点 A, B を通る円は
\begin{align*}
(x+2)(x-1)+(y-6)(y+3)+k(3x+y)=0
\end{align*}
と表すことができる。次のように $k$ の値によって円の形状が変わっても，２点 A, B を通ることが確認できる。
(x+2)(x-1)+(y-6)(y+3)+k(3x+y)=0
\end{align*}
そうですね！
ヒロ
色々ある円の中で，点 C を求めるものを求めれば良いね！
ヒロ
ということで解答は次のようになるよ。
２点 $\mathrm{A}(-2,6),\mathrm{B}(1,-3)$ を通る円の方程式は
\begin{align*}
(x+2)(x-1)+(y-6)(y+3)+k(3x+y)=0
\end{align*}
と表すことができる。これが点 $\mathrm{C}(5,-1)$ を通るから，(x+2)(x-1)+(y-6)(y+3)+k(3x+y)=0
\end{align*}
\begin{align*}
&7\cdot4+(-7)\cdot2+14k=0 \\[4pt]
&2-1+k=0 \\[4pt]
&k=-1
\end{align*}
よって，求める円の方程式は&7\cdot4+(-7)\cdot2+14k=0 \\[4pt]
&2-1+k=0 \\[4pt]
&k=-1
\end{align*}
\begin{align*}
&(x+2)(x-1)+(y-6)(y+3)-(3x+y)=0 \\[4pt]
&x^2+y^2-2x-4y-20=0
\end{align*}
&(x+2)(x-1)+(y-6)(y+3)-(3x+y)=0 \\[4pt]
&x^2+y^2-2x-4y-20=0
\end{align*}
色々な知識を使うことで簡単に解けるんですね！
ヒロ
そうだね。各単元の知識は大丈夫なのに応用問題を解けない理由の１つは，それぞれの知識のリンクが弱いからかもしれないね。
今日もパワーアップ出来ました！
【参考図】３点 $\mathrm{A}(-2,6)$，$\mathrm{B}(1,-3)$，$\mathrm{C}(5,-1)$ を通る円
まとめ
ヒロ
円の方程式を求める問題には，様々なタイプがあるけど，それぞれに応じて適切に円の方程式を表せるようにしておこう！
円の方程式の表し方
- 中心 $(a,b)$ が与えられたとき
$(x-a)^2+(y-b)^2={\color{red}{r}}^2$ - 直径の両端の２点 $(a,b),~(c,d)$ が与えられたとき\begin{align*}
(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0
\end{align*} - 通る２点 ${\mathrm A}(a,b),~{\mathrm B}(c,d)$ が与えられたとき\begin{align*}ただし，直線 AB の方程式を $px+qy+r=0$ とする。
(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)+{\color{red}{k}}(px+qy+r)=0
\end{align*}
※赤文字が未知数となる。
ヒロ
他にもセンター試験のようなマーク式試験や答えだけを求めれば良い私大入試で使えるテクニックや公式をまとめたので参考にして欲しい。
