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【数学IA】確率の基本問題

確率の基本問題数学IAIIB
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ここでは確率の基本問題を説明します。

場合の数を求める簡単な問題やド・モルガンの法則を理解していれば,確率の基本問題を解くことができるでしょう。

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試行と事象

ヒロ
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まず,試行と事象について説明する。

試行と事象同じ状態のもとで繰り返すことができ,その結果が偶然によって決まる実験などを試行といい,その結果起こる事柄を事象という。
ヒロ
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例えば1個のさいころを投げるとき,出る目は「1, 2, 3, 4, 5, 6」のどれかである。

ヒロ
ヒロ

どの目が出るかはそのときそのときで偶然によって決まる。

ヒロ
ヒロ

この場合は,さいころを投げることが試行で,出た目が事象になる。

全事象・空事象・根元事象起こりうる場合の全体集合 $U$ で表される事象を全事象といい,空集合 $\varnothing$ で表される事象を空事象という。
また,全体集合 $U$ の1個の要素からなる集合で表される事象を根元事象という。

確率の定義

ヒロ
ヒロ

確率は次のように定義されることを知っておこう。

確率の定義1つの試行において,事象 $A$ の起こることが期待できる割合を事象 $A$ の確率といい $P(A)$ で表す。
全事象 $U$ の要素の個数を $n(U)$ とし,事象 $A$ の要素の個数を $n(A)$ とする。全事象 $U$ のどの根元事象も同様に確からしいとき,$P(A)$ は次の式で定義される。
\begin{align*}
P(A)=\dfrac{n(A)}{n(U)}=\dfrac{事象Aの起こる場合の数}{起こりうるすべての場合の数}
\end{align*}
ヒロ
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ちなみに,1つの試行において,根元事象のどれが起こることも同じ程度期待できる(どれかに偏って起こる根元事象がない)とき,それらの根元事象は同様に確からしいという。

確率を求める問題

ヒロ
ヒロ

実際の定期テストで出題された問題を解いてみよう。

問題1から20までの番号札から1枚取り出すとき,次の確率を求めよ。
(1) 偶数の札が出る確率
(2) 素数の札が出る確率
(3) 偶数かつ3の倍数の札が出る確率
【(1)の考え方と解答】
全部で取り出し方は20通りある。
偶数の札は10枚あるから,その取り出し方は10通りある。
したがって,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

ここで,よくある間違いとして,「$\dfrac{1}{2}$ 通り」と書いてしまう人がいる。

ヒロ
ヒロ

「○○通り」と書くと場合の数を考えているわけで,「$\dfrac{1}{2}$ 通り」と書かれると理解不能である。

ヒロ
ヒロ

いま求めているものが何なのかを考えて答案を書くようにしよう。

ヒロ
ヒロ

個人的には「求める○○は」と書いてから答えを書くようにするのがオススメ。

ヒロ
ヒロ

こうすることで,何を求めるのかを問題文を読んで必ず確認することになるからである。

【(2)の考え方と解答】
素数の札は
\begin{align*}
2,~3,~5,~7,~11,~13,~17,~19
\end{align*}
の8枚あるから,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

素数に関する問題を解くときは,偶数で唯一素数である2に注意しよう。

【(3)の考え方と解答】
偶数かつ3の倍数の札は
\begin{align*}
6,~12,~18
\end{align*}
の3枚あるから,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{3}{20}
\end{align*}

確率を求める問題2

ヒロ
ヒロ

次も定期テストで出題された問題。

問題30から100までの番号札から1枚取り出すとき,5の倍数または6の倍数の札が出る確率を求めよ。
ヒロ
ヒロ

集合を設定すると考えやすくなるだろう。

【考え方と解答】
30以上100以下の整数の集合を $U$ とし,$U$ の部分集合で5の倍数の集合を $A$,6の倍数の集合を $B$ とする。
求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{n(A\cup B)}{n(U)}=\dfrac{n(A)+n(B)-n(A\cap B)}{n(U)}~\cdots\cdots①
\end{align*}
である。
\begin{align*}
&U=\{30,~31,~\cdots,~100\} \\[4pt]&A=\{5\Cdota6,~5\Cdota7,~\cdots,~5\Cdota20\} \\[4pt]&B=\{6\Cdota5,~6\Cdota6,~\cdots,~6\Cdota16\} \\[4pt]&A\cap B=\{30\Cdota1,~30\Cdota2,~30\Cdota3\}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
&n(U)=100-30+1=71 \\[4pt]&n(A)=20-6+1=15 \\[4pt]&n(B)=16-5+1=12 \\[4pt]&n(A\cap B)=3
\end{align*}
よって,①より求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{15+12-3}{71}=\dfrac{24}{71}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

30から100までの番号札は71枚ある。70枚として間違えないようにしよう。

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