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ややこしい式の値を求める入試問題【2018年 山梨大】

ややこしい式の値を求める入試問題 2018年 山梨大数学IAIIB
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ここでは2018年山梨大で出題された式の値を求める入試問題について説明します。

「式の値を求めるだけ」なので,式変形をしていけば求められるはずです。

しかし,入試会場では自分では緊張していないと思っても,どこか緊張していて普段とは少し感覚が変わります。

通常の状態で難なく解ければ大丈夫ですが,解けないなんてことになると,入試当日はパニックになるかもしれません。

そんなことにならないように,計算力チェックをしておきましょう。

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2018年 山梨大・医

ヒロ
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それでは次の問題を解いてみよう。

2018年 山梨大・医$(1+5^{3^1}+25^{3^1})(1+5^{3^2}+25^{3^2})(1+5^{3^3}+25^{3^3})\times\cdots$
 $\cdots\times(1+5^{3^{98}}+25^{3^{98}})(1+5^{3^{99}}+25^{3^{99}})\Cdot\dfrac{1}{1-5^{3^{100}}}$ の値を求めよ。

考え方と解答

ヒロ
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この式を見たときに,これは100個の積だけど,どんどん消えて簡単になるんだろうなと思うだろう。

ヒロ
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指数部分自体が指数で表されていることに注意しよう。

指数を用いた表し方$a^{b^c}$ は $a^{(b^c)}$ を表しているのであり,$(a^b)^c$ を表していない。
ヒロ
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また,指数法則を正しく理解しておくことも重要だね。

指数法則$(a^n)^m=a^{mn}$, $(a^m)^n=a^{mn}$ であるから
\begin{align*}
(a^n)^m=(a^m)^n
\end{align*}
が成り立つ。
ヒロ
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今回の問題では,$25^{3^k}=(5^2)^{3^k}=(5^{3^k})^2$ と変形できるかどうかがポイントだね。

ヒロ
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この変形ができれば,等比数列の和を連想することができるから,和を求めることができるはず。

【解答】
$a_k=1+5^{3^k}+25^{3^k}$ とおくと,
\begin{align*}
a_k&=1+5^{3^k}+(5^{3^k})^2 \\[4pt]
&=\dfrac{1-(5^{3^k})^3}{1-5^{3^k}}=\dfrac{1-5^{3^{k+1}}}{1-5^{3^k}}
\end{align*}

となるから,$b_n=a_1\Cdot a_2\Cdot\cdots\Cdot a_n$ とおくと,
\begin{align*}
b_n&=\dfrac{1-5^{3^2}}{1-5^{3^1}}\Cdot\dfrac{1-5^{3^3}}{1-5^{3^2}}\Cdot\dfrac{1-5^{3^4}}{1-5^{3^3}}
\Cdot\cdots\Cdot\dfrac{1-5^{3^{n+1}}}{1-5^{3^n}} \\[4pt]
&=\dfrac{1-5^{3^{n+1}}}{1-5^{3^1}}
\end{align*}

よって,求める値は
\begin{align*}
\dfrac{b_{99}}{1-5^{3^{100}}}&=\dfrac{1-5^{3^{100}}}{1-5^{3^1}}\Cdot\dfrac{1}{1-5^{3^{100}}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{1-125} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{124}
\end{align*}

まとめ

ヒロ
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一見戸惑うような式であっても落ち着いて考えることが重要である。

ヒロ
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また,そのまま計算できないような式の値を求める問題では,うまく変形することで簡単な計算になることが多いため,式変形できるかどうかがポイントとなる。

ヒロ
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そしてその式変形ができるかどうかは,身に付けている数学的知識の量によるだろう。

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