Contents
2つの放物線の交点を通る直線に関する問題
2015年 明治薬科大$a$ を定数とし，座標平面上の2つの放物線 $C_1:y=x^2-2ax+2a-1$ と $C_2:y=-x^2+4x+a-2$ を考える。任意の $a$ に対して $C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わる。それらの交点を通る直線を $l_a$ としたとき，$l_a$ の方程式は $y=\myhako$ であり，$l_a$ は $a$ の値にかかわらず定点 $\myhako$ を通る。
【考え方と解答】
この問題で求めるものは直線 $l_a$ の方程式である。問題文に「任意の $a$ に対して $C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わる。」という記述を見て「本当にそうなのか？」と思って確認する人もいるだろうが，時間に余裕がなければ確認する必要はない。既に「断定」の形で書いているのだから，実際にそうなのだろう。何も疑う必要はない。ということで，2つの放物線 $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求めよう。
$C_1:y=x^2-2ax+2a-1~\cdots\cdots①$，$C_2:y=-x^2+4x+a-2~\cdots\cdots②$ とする。$①+②$ より
よって，直線 $l_a$ は $a$ の値にかかわらず定点 $\left(\dfrac{3}{2},~\dfrac{3}{2}\right)$ を通る。
この問題で求めるものは直線 $l_a$ の方程式である。問題文に「任意の $a$ に対して $C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わる。」という記述を見て「本当にそうなのか？」と思って確認する人もいるだろうが，時間に余裕がなければ確認する必要はない。既に「断定」の形で書いているのだから，実際にそうなのだろう。何も疑う必要はない。ということで，2つの放物線 $C_1$ と $C_2$ の2つの交点を通る直線の方程式を求めよう。
$C_1:y=x^2-2ax+2a-1~\cdots\cdots①$，$C_2:y=-x^2+4x+a-2~\cdots\cdots②$ とする。$①+②$ より
\begin{align*}
&2y=(-2a+4)x+3a-3 \\[4pt]&y=(-a+2)x+\dfrac{3}{2}a-\dfrac{3}{2}
\end{align*}
$a$ について整理すると&2y=(-2a+4)x+3a-3 \\[4pt]&y=(-a+2)x+\dfrac{3}{2}a-\dfrac{3}{2}
\end{align*}
\begin{align*}
(-2x+3)a+(4x-2y-3)=0
\end{align*}
これが $a$ の値にかかわらず成り立つのは(-2x+3)a+(4x-2y-3)=0
\end{align*}
\begin{align*}
-2x+3=0~かつ~4x-2y-3=0
\end{align*}
が成り立つときである。これを解いて，$x=\dfrac{3}{2},~y=\dfrac{3}{2}$-2x+3=0~かつ~4x-2y-3=0
\end{align*}
よって，直線 $l_a$ は $a$ の値にかかわらず定点 $\left(\dfrac{3}{2},~\dfrac{3}{2}\right)$ を通る。
ヒロ
2つの放物線が異なる2点で交わることについて説明しておく。
【$C_1$ と $C_2$ が異なる2点で交わる理由】
$C_1:y=x^2-2ax+2a-1$，$C_2:y=-x^2+4x+a-2$ から $y$ を消去する（辺々を引く）と
\begin{align*}
2x^2-2(a+2)x+a+1=0
\end{align*}
判別式を $D$ とすると2x^2-2(a+2)x+a+1=0
\end{align*}
\begin{align*}
D/4&=(a+2)^2-2(a+1) \\[4pt]&=a^2+2a+2 \\[4pt]&=(a+1)^2+1>0
\end{align*}
となり，$a$ の値にかかわらず $D>0$ となる。したがって，$a$ の値にかかわらず，2つの放物線 $C_1$ と $C_2$ は異なる2点で交わる。D/4&=(a+2)^2-2(a+1) \\[4pt]&=a^2+2a+2 \\[4pt]&=(a+1)^2+1>0
\end{align*}
ヒロ
上でも説明したように，こんなことを試験時間中に確認する必要はない。
ヒロ
試験時間には限りがあるのだから，有効に使うようにしよう。