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2018年 センター試験 数学ⅠA 第4問 整数

2018年 センター数学ⅠA 整数数学IAIIB
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2018年センター試験 数学ⅠA 第4問 整数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年 センターⅠA 第4問 整数(1) 144を素因数分解すると
\begin{align*}
144=2^{\myBox{ア}}\times\myBox{イ}^{~\myBox{ウ}}
\end{align*}
であり,144の正の約数の個数は $\myBox{エオ}$ 個である。
(2) 不定方程式
\begin{align*}
144x-7y=1
\end{align*}
の整数解 $x,~y$ の中で,$x$ の絶対値が最小になるのは
\begin{align*}
x=\myBox{カ},~y=\myBox{キク}
\end{align*}
であり,すべての整数解は,$k$ を整数として
\begin{align*}
x=\myBox{ケ}~k+\mybox{カ},~y=\myBox{コサシ}~k+\mybox{キク}
\end{align*}
と表される。
(3) 144の倍数で,7で割ったら余りが1となる自然数のうち,正の約数の個数が18個である最小のものは $144\times\myBox{ス}$ であり,正の約数の個数が30個である最小のものは $144\times\myBox{セソ}$ である。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

144を素因数分解するだけだから簡単だろう。

【ア~ウの解答】
\begin{align*}
144&=12^2 \\[4pt]
&=(2^2\Cdota3)^2 \\[4pt]
&=2^4\times3^2
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

正の約数の個数も基本だね。

【エオの解答】
144の正の約数の個数は
\begin{align*}
5\times3=15
\end{align*}

(2)の解答

(2) 不定方程式

\begin{align*} 144x-7y=1 \end{align*}
の整数解 $x,~y$ の中で,$x$ の絶対値が最小になるのは
\begin{align*} x=\myBox{カ},~y=\myBox{キク} \end{align*}
であり,すべての整数解は,$k$ を整数として
\begin{align*} x=\myBox{ケ}~k+\mybox{カ},~y=\myBox{コサシ}~k+\mybox{キク} \end{align*}
と表される。

ヒロ
ヒロ

まずはユークリッドの互除法を利用して特殊解を求めよう。その後,一般解を求めよう。

【カ~シの解答】
\begin{align*}
&144=7\times20+4 \cdots\cdots① \\[4pt]
&7=4\times1+3 \cdots\cdots② \\[4pt]
&4=3\times1+1 \cdots\cdots③
\end{align*}
①,②,③より
\begin{align*}
1&=4-3 \\[4pt]
&=4-(7-4) \\[4pt]
&=4\times2-7 \\[4pt]
&=(144-7\times20)\times2-7 \\[4pt]
&=144\times2-7\times41
\end{align*}
よって,解の1つは $x=2,~y=41$ である。
$x$ の絶対値が1以下の $x=0,~\pm1$ は解ではないから,$x$ の絶対値が最小になるのは
\begin{align*}
x=2,~y=41
\end{align*}
である。また,$144x-7y=1$ のすべての整数解は,$k$ を整数として
\begin{align*}
x=7k+2,~y=144k+41
\end{align*}
と表せる。

(3)の解答

(3) 144の倍数で,7で割ったら余りが1となる自然数のうち, 正の約数の個数が18個である最小のものは $144\times\myBox{ス}$ であり, 正の約数の個数が30個である最小のものは $144\times\myBox{セソ}$ である。

ヒロ
ヒロ

正の約数の個数から,その自然数を求める問題。

【スの解答】
正の約数の個数が18個であるものは,$a,~b$ を異なる素数として
\begin{align*}
a^{17},~a^8\Cdota b,~a^5\Cdota b^2
\end{align*}
と表せる。この中で144の倍数であるのは
\begin{align*}
a^5\Cdota b^2
\end{align*}
の形に限られ,最小のものは,$a=2,~b=3$ として
\begin{align*}
2^5\Cdota3^2=144\times2
\end{align*}
となる。これは7で割った余りが1となる数であるから条件を満たす。$\myBox{ス}=2$
ヒロ
ヒロ

正の約数の個数が30個になっても同じように解けるはず。

【セソの解答】
正の約数の個数が30個であるものは,$a,~b,~c$ を異なる素数として
\begin{align*}
a^{29},~a^{14}\Cdota b,~a^9\Cdota b^2,~a^5\Cdota b^4,~a^4\Cdota b^2\Cdota c
\end{align*}
と表せる。144の倍数であるのは
\begin{align*}
a^9\Cdota b^2,~a^5\Cdota b^4,~a^4\Cdota b^2\Cdota c
\end{align*}
の形に限られ,最小のものは,$a=2,~b=3,~c=5$ として
\begin{align*}
&2^9\Cdota3^2,~2^5\Cdota3^4,~2^4\Cdota3^2\Cdota5 \\[4pt]
&=144\times32,~144\times18,~144\times5
\end{align*}
となる。(2)の結果から,144にかける数は $k$ を自然数として,$7k+2$ と表されるときと分かるが,上の3つはすべて当てはまらない。2と3を入れ替えることができるのは,真ん中の数だけであり
\begin{align*}
&3^5\Cdota2^4=144\times27
\end{align*}
となる。これも27が7で割ると4余る数のため,条件を満たさない。
次は $2^4\Cdot3^2\Cdot c$ の $c$ を変えていく。$7k+2$ と表される素数で小さいものを考えると,$k=3$ のときが条件を満たす。このとき
\begin{align*}
2^4\Cdota3^2\Cdota23=144\times23
\end{align*}
となり,$\myBox{セソ}=23$ である。

(2)の別解

ヒロ
ヒロ

合同式を用いると次のように解くことができる。

【カ~シの別解】
\begin{align*}
&144x-7y\equiv1\pmod{7} \\[4pt]
&144x\equiv1\pmod{7}
\end{align*}
また
\begin{align*}
&144\equiv4\pmod{7}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
4x\equiv1\pmod{7}
\end{align*}
よって,解の1つは $x=2$ であることが分かるから,一般解は $k$ を整数として $x=7k+2$ と表せる。このとき
\begin{align*}
&144(7k+2)-7y=1 \\[4pt]
&144\Cdota7k-7y+287=0 \\[4pt]
&y=144k+41
\end{align*}
$x$ の絶対値が最小になるのは
\begin{align*}
x=2,~y=41
\end{align*}
である。

2018年 センター数学ⅠA 整数を解いた感想

ヒロ
ヒロ

(1),(2)は見た瞬間に簡単そうだなと思うため,手を付けやすい。

ヒロ
ヒロ

(3)も $\myBox{ス}$ は簡単だから整数を選んで良かったと思う人が多いだろう。

ヒロ
ヒロ

ただ,最後の $\myBox{セソ}$ が少し面倒。しかし3点しかないので捨てるのもアリだろう。

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