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【数学ⅡB】三角関数の加法定理【岡山理科大・龍谷大・東海大】

三角関数の加法定理数学IAIIB
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ここでは,三角関数の加法定理について説明します。

三角関数の加法定理を正確に覚えて,使いこなせるようにすることが重要です。

しかし,東京大学でも加法定理の導出が出題されているため,その証明も出来るようにしておいた方が良いでしょう。

次の記事ではベクトルを用いた証明を載せています。

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三角関数の加法定理

ヒロ
ヒロ

まず,三角関数の加法定理とは,次のようなものである。

三角関数の加法定理
  1. $\displaystyle
    \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
    $
  2. $\displaystyle
    \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\sin\beta\mp\sin\alpha\cos\beta
    $
  3. $\displaystyle
    \tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}
    $
ヒロ
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数学が苦手な人は,導出を後回しにして,加法定理を使って問題を解けるようにするのが良いだろう。

【加法定理の覚え方の例】
 角については $\alpha,~\beta$ の順になっているため,サインとコサインについてはその順番だけを覚えれば良い。
 正弦(サイン)の加法定理の覚え方として有名なものは「咲いたコスモスコスモス咲いた」だろう。「咲いた」が $\sin$ を表し,「コスモス」が $\cos$ を表している。つまり,「サインコサインコサインサイン」の順になっていることを表している。角が $\alpha+\beta$ のように和になっていれば,右辺もそのまま和にすれば良い。
 余弦(コサイン)の加法定理の覚え方として有名なものに「コスモスコスモス咲かない咲かない」がある。「コスモス」が $\cos$ を表し「咲かない」が $\sin$ を表している。「咲かない」と否定形になっていることで「マイナスイメージ」があり,$\cos\alpha\cos\beta$ と $\sin\alpha\sin\beta$ の間が「マイナス」であることにつながっている。
 正接(タンジェント)の加法定理の覚え方として有名なものは「1マイタンタンタンプラタン」がある。分母,分子の順に省略しながら読んでいるだけである。「マイ」はマイナス,「プラ」はプラス,「タン」は $\tan$ を表している。

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