定点を通る円に関する問題【上智大】
2015年 上智大
$a$ を実数とするとき，座標平面において，円 $C_a:x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$ を考える。どのような $a$ の値に対しても，$C_a$ は2点P$\left(\myBox{ア},~\myBox{イ}\right)$，Q$\left(\myBox{ウ},~\myBox{エ}\right)$ を必ず通る。ただし，$\myBox{ア}<\myBox{ウ}$ とする。
【考え方と解答】
$x^2+y^2+a(x+3y-10)=20$ を $a$ について整理すると
\begin{align*}x^2+y^2-20+a(x+3y-10)=0 \end{align*}
これが $a$ の値に関係なく成り立つのは\begin{align*} \begin{cases}
x^2+y^2-20=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
x+3y-10=0 &\cdots\cdots② \end{cases} \end{align*}
となるときである。x^2+y^2-20=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
x+3y-10=0 &\cdots\cdots② \end{cases} \end{align*}
②より，$x=-3y+10~\cdots\cdots②’$
$②’$ を①に代入すると
\begin{align*}
&(-3y+10)^2+y^2-20=0 \\[4pt]
&10y^2-60y+80=0 \\[4pt]
&y^2-6y+8=0 \\[4pt]
&(y-2)(y-4)=0 \\[4pt]
&y=2,~4 \end{align*}
$①’$ より，$y=2$ のとき，$x=4$ であり，$y=4$ のとき，$x=-2$ である。&(-3y+10)^2+y^2-20=0 \\[4pt]
&10y^2-60y+80=0 \\[4pt]
&y^2-6y+8=0 \\[4pt]
&(y-2)(y-4)=0 \\[4pt]
&y=2,~4 \end{align*}
したがって，どのような $a$ の値に対しても $C_a$ は2点P$(-2,~4)$，Q$(4,~2)$ を必ず通る。
定点を通る円に関する問題【近畿大】
2015年 近畿大$a$ は0でない定数とする。$a$ の値に関係なく，円 $C:x^2+y^2-4ax+2y+1=0$ が通る定点の座標は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
$x^2+y^2-4ax+2y+1=0$ より
①より，$x=0$
②に代入すると
$x^2+y^2-4ax+2y+1=0$ より
\begin{align*}
-4xa+(x^2+y^2+2y+1)=0
\end{align*}
これが $a$ の値に関係なく成り立つのは-4xa+(x^2+y^2+2y+1)=0
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
-4x=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
x^2+y^2+2y+1=0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
となるときである。\begin{cases}
-4x=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
x^2+y^2+2y+1=0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
①より，$x=0$
②に代入すると
\begin{align*}
&y^2+2y+1=0 \\[4pt]
&(y+1)^2=0 \\[4pt]
&y=-1
\end{align*}
よって，$a$ の値に関係なく，円 $C$ は定点 $(0,~-1)$ を通る。&y^2+2y+1=0 \\[4pt]
&(y+1)^2=0 \\[4pt]
&y=-1
\end{align*}
ヒロ
この問題で，円と直線の共有点を通る円として考えると，少し面倒なことになる。
円 $C$ の方程式を変形すると
\begin{align*}
-4xa+(x^2+y^2+2y+1)=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
となるが，これは直線 $-4x=0$ すなわち，直線 $x=0~\cdots\cdots①$ と $x^2+y^2+2y+1=0~\cdots\cdots②$ が表す図形（円と言わない理由はすぐに分かる）の共有点を通る円である。-4xa+(x^2+y^2+2y+1)=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
直線①は $y$ 軸である。②の方程式を円の方程式とみて，基本形に変形すると
\begin{align*}
x^2+(y+1)^2=0
\end{align*}
となる。$x,~y$ は実数であるからx^2+(y+1)^2=0
\end{align*}
\begin{align*}
x=0~かつ~y+1=0
\end{align*}
となり，②は円ではなく，点 $(0,~-1)$ を表すことに気付く。x=0~かつ~y+1=0
\end{align*}
この時点で，問題文にある「$a$ は0でない定数とする」の意味も理解するだろう。$a=0$ のときは①は1点のみを表し，円と言えなくなる。
解釈を続ければ，円①は $y$ 軸と点 $(0,~-1)$ の交点を通る円ということになる。$y$ 軸と点 $(0,~-1)$ の交点は点 $(0,~-1)$ であるから，円①は $a$ の値に関係なく，点 $(0,~-1)$ を通ることになる。
定点を通る円に関する問題【成蹊大】
2012年 成蹊大$k$ を定数とし，方程式
(1) 円 $C$ の中心の座標を $k$ を用いて表せ。
(2) 円 $C$ は $k$ の値によらず，ある2つの定点を通る。この2点の座標を求めよ。
\begin{align*}
x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0
\end{align*}
で表される座標平面の円 $C$ について，次の各問に答えよ。x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0
\end{align*}
(1) 円 $C$ の中心の座標を $k$ を用いて表せ。
(2) 円 $C$ は $k$ の値によらず，ある2つの定点を通る。この2点の座標を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
与えられた円の方程式を基本形に変形しよう。
$x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0$ より
よって，円 $C$ の中心の座標は $\left(-\dfrac{3}{2}k,~\dfrac{1}{2}k\right)$
与えられた円の方程式を基本形に変形しよう。
$x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0$ より
\begin{align*}
&\left(x+\dfrac{3}{2}k\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}k\right)^2=\dfrac{9}{4}k^2+\dfrac{1}{4}k^2+10k+20 \\[4pt]
&\left(x+\dfrac{3}{2}k\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}k\right)^2=\dfrac{5}{2}k^2+10k+20
\end{align*}
ここで，&\left(x+\dfrac{3}{2}k\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}k\right)^2=\dfrac{9}{4}k^2+\dfrac{1}{4}k^2+10k+20 \\[4pt]
&\left(x+\dfrac{3}{2}k\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}k\right)^2=\dfrac{5}{2}k^2+10k+20
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{5}{2}k^2+10k+20&=\dfrac{5}{2}(k+2)^2+10>0
\end{align*}
となるから，$k$ の値に関係なく円である。\dfrac{5}{2}k^2+10k+20&=\dfrac{5}{2}(k+2)^2+10>0
\end{align*}
よって，円 $C$ の中心の座標は $\left(-\dfrac{3}{2}k,~\dfrac{1}{2}k\right)$
(2) 円 $C$ は $k$ の値によらず，ある2つの定点を通る。この2点の座標を求めよ。
【(2)の考え方と解答】
$k$ についての恒等式と見て，定点を求めよう。
$x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0$ より
②より，$y=3x-10~\cdots\cdots②’$
$②’$を①に代入して
よって，求める2つの定点の座標は $(2,~-4),~(4,~2)$
$k$ についての恒等式と見て，定点を求めよう。
$x^2+y^2+3kx-ky-10k-20=0$ より
\begin{align*}
x^2+y^2-20+k(3x-y-10)=0
\end{align*}
これが $k$ の値に関係なく成り立つのはx^2+y^2-20+k(3x-y-10)=0
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
x^2+y^2-20=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
3x-y-10=0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
となるときである。\begin{cases}
x^2+y^2-20=0 &\cdots\cdots① \\[4pt]
3x-y-10=0 &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
②より，$y=3x-10~\cdots\cdots②’$
$②’$を①に代入して
\begin{align*}
&x^2+(3x-10)^2-20=0 \\[4pt]
&10x^2-60x+80=0 \\[4pt]
&x^2-6x+8=0 \\[4pt]
&(x-2)(x-4)=0 \\[4pt]
&x=2,~4
\end{align*}
$②’$ より，$x=2$ のとき，$y=-4$ であり，$x=4$ のとき，$y=2$ である。&x^2+(3x-10)^2-20=0 \\[4pt]
&10x^2-60x+80=0 \\[4pt]
&x^2-6x+8=0 \\[4pt]
&(x-2)(x-4)=0 \\[4pt]
&x=2,~4
\end{align*}
よって，求める2つの定点の座標は $(2,~-4),~(4,~2)$