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1の3乗根の性質
ヒロ
次に，1の3乗根の性質を知ろう。
【1の3乗根の性質】
3乗すると1になる数が1の3乗根であるから，
3乗すると1になる数が1の3乗根であるから，
\begin{align*}
\left(\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\right)^3=1
\end{align*}
が成り立つ。また\left(\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}\right)^3=1
\end{align*}
\begin{align*}
&\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\[4pt]
&\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}
\end{align*}
が成り立つから，$\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ と $\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ の一方を $\omega$ とおいて他方を $\omega^2$ と表すことが多い。さらに，$\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$ は $x^2+x+1=0$ の2解だから，$\omega^2+\omega+1=0$ が成り立つ。&\left(\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} \\[4pt]
&\left(\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^2=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}
\end{align*}
ヒロ
よって，1の3乗根の性質についてまとめると次のようになる。
1の3乗根の性質
- 1の3乗根は $1,~\omega,~\omega^2$
- $\omega^3=1,~\omega^2+\omega+1=0$
ヒロ
等式 $\omega^2+\omega+1=0$ については，$\omega^2=-\omega-1$ と変形して「次数下げ」として使うことが多いことも覚えておこう。
ヒロ
「次数下げ」として利用することによって，$\omega$ の多項式はすべて2次以下の多項式に変形できる。
ヒロ
$\omega^2$ に $-\omega-1$ に代入するときは括弧をつけるから「$(-\omega-1)$」となり顔文字の「(－ω－；)」に見えてしまうこともあり，クスッとしてしまうこともあるだろう。