Contents
- ページ1
- 1 1つのベクトルの成分に0がある場合
- ページ2
- 1 垂線の足の座標
- ページ3
- 1 1つのベクトルの成分に0がない場合
- ページ4
- 1 外積の性質
- ページ5
- 1 四面体の体積
- 2 まとめ
垂線の足の座標
ヒロ
ちなみに，問題では求めることは聞かれてないけど，点Hの座標もついでに求めておこう。
ヒロ
さっきの内積の計算で \vec{n}\Cdot\Vec{AD}<0 となったけど，これから分かることは？
\vec{n} と \Vec{AD} のなす角が鈍角ってことですか？
ヒロ
そうだね！
内積と \vec{a},\vec{b} のなす角 \theta の関係
\vec{a}\Cdot\vec{b}>0 のとき，\theta は鋭角
\vec{a}\Cdot\vec{b}=0 のとき，\theta は直角
\vec{a}\Cdot\vec{b}<0 のとき，\theta は鈍角
ヒロ
今回は内積が負だから，最初に描いた図の \vec{n} の向きは，実は逆向きだったと分かるね。
なるほど！
ヒロ
あとはDHの長さが \dfrac{1}{\sqrt6} ということを考えれば，\Vec{DH} を求めることができるね。
\begin{align*} \Vec{DH}&=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\vec{n} \\[4pt] &=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{6}}(2,-1,1) \\[4pt] &=\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6}\right) \end{align*}
よって，\begin{align*} \Vec{OH}&=\Vec{OD}+\Vec{DH} \\[4pt] &=(1,1,1)+\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6}\right) \\[4pt] &=\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{6},\dfrac{7}{6}\right) \end{align*}
したがって，点Hの座標は \left(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{6},\dfrac{7}{6}\right)
分かりました！