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外積を利用した2つのベクトルに垂直なベクトルの求め方とは?

外積とは 数学IAIIB
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四面体の体積

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総仕上げとして,次の四面体ABCDの体積 $V$ を求めてみよう。

四面体ABCDの頂点Dから平面ABCに下ろした垂線DH
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まず,$V$ を $\triangle\mathrm{ABC}$ とDHを用いて表すとどうなる?

$V=\dfrac{1}{3}\Cdot\triangle\mathrm{ABC}\Cdot\mathrm{DH}$ です。

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そうだね。次にDHの長さをベクトルで表すために $\Vec{AB}\times\Vec{AC}$ を考えよう。

四面体ABCDとABとACの外積

$\Vec{AD}$ との内積を考えて,こうですね!

\begin{align*}
\left(\Vec{AB}\times\Vec{AC}\right)\Cdota\Vec{AD}=\abs{\Vec{AB}\times\Vec{AC}}\Cdota\mathrm{DH}
\end{align*}
ヒロ
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外積の大きさはそれを作る2つのベクトルで作られる平行四辺形の面積に等しいことを考えると四面体の体積はどうなる?

$\abs{\Vec{AB}\times\Vec{AC}}=2\triangle\mathrm{ABC}$より,
\begin{align*}
\triangle\mathrm{ABC}=\dfrac{1}{2}\abs{\Vec{AB}\times\Vec{AC}}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
V&=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{1}{2}\abs{\Vec{AB}\times\Vec{AC}}\Cdota\mathrm{DH} \\
&=\dfrac{1}{6}\left(\Vec{AB}\times\Vec{AC}\right)\Cdota\Vec{AD}
\end{align*}

四面体の4点の座標が与えられていれば,四面体の体積は結構簡単に求められるんですね。

まとめ

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外積を使いこなすことで有利になるのは間違いなし!

外積の5つのポイント
  1. 外積は「$\times$」を使って表す。
  2. $\vec{a}\times\vec{b}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なベクトル。
  3. 方向は $\vec{a}$ から $\vec{b}$ の方向に右ねじを回すときに,ねじが進む方向。
  4. $|\vec{a}\times\vec{b}|$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で作られる平行四辺形の面積と等しい。
  5. 順序を変えると符号が変わる。$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$
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平面ベクトルは大丈夫だけど,空間ベクトルになるとサッパリ出来ないという人は,細野真宏さんの本がオススメ。

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最初に紹介した平面ベクトルの本と同様,かなり詳しく書かれている。平面ベクトルの本がセクション3で終わっていて,空間ベクトルはその続編という扱い。そのため,セクション4から始まる構成になっている。

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ベクトル自体が苦手なら,平面と空間の2冊を買うのが手っ取り速いかもしれない。

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