Contents
- ページ1
- 1 対数の近似値を求める方法
- ページ2
- 1 2011年 関西大
- ページ3
- 1 2011年 成蹊大
- 2 2011年 広島大
2011年 関西大
2011年 関西大$2\Cdota7^2=98$，$7^9=40353607$，$2^{10}=1024$ である。したがって，次の不等式が成立する。
(1) $\log_{10}2=a$，$\log_{10}7=b$ とおく。不等式(ア)，(イ)を用いて $b$ のとり得る値の範囲を $a$ で表せ。
(2) 設問(1)の結果と，不等式(ウ)を用いて $\log_{10}2$ および $\log_{10}7$ のそれぞれ小数第2位までの正しい値（小数第3位以下を切り捨てた値）を求めよ。
\begin{align*}
(ア)~2\Cdota7^2<100\qquad (イ)~7^9>40000000\qquad (ウ)~2^{10}>1000
\end{align*}
次の問いに答えよ。(ア)~2\Cdota7^2<100\qquad (イ)~7^9>40000000\qquad (ウ)~2^{10}>1000
\end{align*}
(1) $\log_{10}2=a$，$\log_{10}7=b$ とおく。不等式(ア)，(イ)を用いて $b$ のとり得る値の範囲を $a$ で表せ。
(2) 設問(1)の結果と，不等式(ウ)を用いて $\log_{10}2$ および $\log_{10}7$ のそれぞれ小数第2位までの正しい値（小数第3位以下を切り捨てた値）を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
不等式(ア)より
不等式(ア)より
\begin{align*}
&\log_{10}(2\Cdota7^2)<\log_{10}100 \\[4pt] &a+2b<2 \\[4pt] &b<-\dfrac{1}{2}a+1~\cdots\cdots① \end{align*}
不等式(イ)より &\log_{10}(2\Cdota7^2)<\log_{10}100 \\[4pt] &a+2b<2 \\[4pt] &b<-\dfrac{1}{2}a+1~\cdots\cdots① \end{align*}
\begin{align*} &\log_{10}7^9>\log_{10}(2^2\Cdota10^7) \\[4pt]
&9b>2a+7 \\[4pt]
&b>\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}~\cdots\cdots②
\end{align*}
①，②より&9b>2a+7 \\[4pt]
&b>\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}<b<-\dfrac{1}{2}a+1 \end{align*}
\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}<b<-\dfrac{1}{2}a+1 \end{align*}
(2) 設問(1)の結果と，不等式(ウ)を用いて $\log_{10}2$ および $\log_{10}7$ のそれぞれ小数第2位までの正しい値（小数第3位以下を切り捨てた値）を求めよ。
【(2)の考え方と解答】
不等式(ウ)より
不等式(ウ)より
\begin{align*} &\log_{10}2^{10}>\log_{10}1000 \\[4pt]
&10a>3 \\[4pt]
&a>\dfrac{3}{10}
\end{align*}
これより&10a>3 \\[4pt]
&a>\dfrac{3}{10}
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}&>\dfrac{2}{9}\Cdota\dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{9} \\[4pt]
&=\dfrac{76}{90}=0.844\cdots \\[4pt]
-\dfrac{1}{2}a+1&<-\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{3}{10}+1 \\[4pt] &=\dfrac{17}{20}=0.85 \end{align*}
となるから(1)の結果より \dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}&>\dfrac{2}{9}\Cdota\dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{9} \\[4pt]
&=\dfrac{76}{90}=0.844\cdots \\[4pt]
-\dfrac{1}{2}a+1&<-\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{3}{10}+1 \\[4pt] &=\dfrac{17}{20}=0.85 \end{align*}
\begin{align*} 0.844\cdots<b<0.85 \end{align*}
よって，$b=\log_{10}7$ の小数第2位までの正しい値は0.84である。 また，$\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}<-\dfrac{1}{2}a+1$ より \begin{align*} &4a+14<-9a+18 \\[4pt] &a<\dfrac{4}{13}=0.307\cdots \end{align*}
$a>\dfrac{3}{10}=0.3$ と合わせて\begin{align*}
0.3<a<0.307\cdots \end{align*}
したがって，$a=\log_{10}2$ の小数第2位までの正しい値は0.30である。0.3<a<0.307\cdots \end{align*}
ヒロ
最近の入試では，2018年の立命館大（文系）で同じような問題が出題されている。
2018年 立命館大$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$ とする。このとき，$\log_{10}5$ の小数点以下第1位の値は $\myhako$ であり，$\log_{10}7$ の小数点以下第1位の値は $\myhako$，$\log_{10}7$ の小数点以下第2位の値は $\myhako$ である。
ヒロ
穴埋めなので，$\log_{10}7=0.8451$（はよこい【早く来い】）と覚えていれば，何の計算をすることもなく，答えを埋めることができる。
ヒロ
「このような問題は数学の問題としてどうなのか」と言われることもあるかもしれないが，出題者側が工夫すれば良いだけのことである。
ヒロ
何事においても「知っている」ことが有利に働くのは当然のことであり，それがたまたま数学の試験で起こっただけである。