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【数学ⅡB】対数の近似値【関西大・立命館大・成蹊大・広島大】

対数の近似値 数学IAIIB
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2011年 関西大

2011年 関西大$2\Cdota7^2=98$,$7^9=40353607$,$2^{10}=1024$ である。したがって,次の不等式が成立する。
\begin{align*}
(ア)~2\Cdota7^2<100\qquad (イ)~7^9>40000000\qquad (ウ)~2^{10}>1000
\end{align*}
次の問いに答えよ。
(1) $\log_{10}2=a$,$\log_{10}7=b$ とおく。不等式(ア),(イ)を用いて $b$ のとり得る値の範囲を $a$ で表せ。
(2) 設問(1)の結果と,不等式(ウ)を用いて $\log_{10}2$ および $\log_{10}7$ のそれぞれ小数第2位までの正しい値(小数第3位以下を切り捨てた値)を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
不等式(ア)より
\begin{align*}
&\log_{10}(2\Cdota7^2)<\log_{10}100 \\[4pt] &a+2b<2 \\[4pt] &b<-\dfrac{1}{2}a+1~\cdots\cdots① \end{align*}
不等式(イ)より
\begin{align*} &\log_{10}7^9>\log_{10}(2^2\Cdota10^7) \\[4pt]
&9b>2a+7 \\[4pt]
&b>\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}~\cdots\cdots②
\end{align*}
①,②より
\begin{align*}
\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}<b<-\dfrac{1}{2}a+1 \end{align*}

(2) 設問(1)の結果と,不等式(ウ)を用いて $\log_{10}2$ および $\log_{10}7$ のそれぞれ小数第2位までの正しい値(小数第3位以下を切り捨てた値)を求めよ。

【(2)の考え方と解答】
不等式(ウ)より
\begin{align*} &\log_{10}2^{10}>\log_{10}1000 \\[4pt]
&10a>3 \\[4pt]
&a>\dfrac{3}{10}
\end{align*}
これより
\begin{align*}
\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}&>\dfrac{2}{9}\Cdota\dfrac{3}{10}+\dfrac{7}{9} \\[4pt]
&=\dfrac{76}{90}=0.844\cdots \\[4pt]
-\dfrac{1}{2}a+1&<-\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{3}{10}+1 \\[4pt] &=\dfrac{17}{20}=0.85 \end{align*}
となるから(1)の結果より
\begin{align*} 0.844\cdots<b<0.85 \end{align*}
よって,$b=\log_{10}7$ の小数第2位までの正しい値は0.84である。 また,$\dfrac{2}{9}a+\dfrac{7}{9}<-\dfrac{1}{2}a+1$ より
\begin{align*} &4a+14<-9a+18 \\[4pt] &a<\dfrac{4}{13}=0.307\cdots \end{align*}
$a>\dfrac{3}{10}=0.3$ と合わせて
\begin{align*}
0.3<a<0.307\cdots \end{align*}
したがって,$a=\log_{10}2$ の小数第2位までの正しい値は0.30である。
ヒロ
ヒロ

最近の入試では,2018年の立命館大(文系)で同じような問題が出題されている。

2018年 立命館大$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$ とする。このとき,$\log_{10}5$ の小数点以下第1位の値は $\myhako$ であり,$\log_{10}7$ の小数点以下第1位の値は $\myhako$,$\log_{10}7$ の小数点以下第2位の値は $\myhako$ である。
ヒロ
ヒロ

穴埋めなので,$\log_{10}7=0.8451$(はよこい【早く来い】)と覚えていれば,何の計算をすることもなく,答えを埋めることができる。

ヒロ
ヒロ

「このような問題は数学の問題としてどうなのか」と言われることもあるかもしれないが,出題者側が工夫すれば良いだけのことである。

ヒロ
ヒロ

何事においても「知っている」ことが有利に働くのは当然のことであり,それがたまたま数学の試験で起こっただけである。

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