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【数学ⅡB】最高位や小数首位の数字【青山学院大・摂南大】

最高位と小数首位の数字数学IAIIB
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最高位の数字や小数首位の数字を求める方法について説明します。

大学入試では,桁数や小数首位を求めるだけでなく,最高位の数字や小数首位の数字を求める問題も出題されます。

また,初めに与えられる数が10進法とは限らないため,10進法に変換する方法についても知っておく必要があるでしょう。

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最高位の数字を求める方法

ヒロ
ヒロ

具体例から最高位の数字の求め方を理解しよう。

【最高位の数字】
 例えば,$\log_{10}a=3.4771$ となる $a$ の整数部分の桁数と最高位の数字を考える。桁数についてはすぐに分かるようになろう。常用対数の整数部分と小数部分に着目して,指数表示に変形すると
\begin{align*}
a=10^{3.4771}=10^{0.4771}\times10^3
\end{align*}
となる。$1<10^{0.4771}<10$ であるから,$a$ の整数部分は4桁であることが分かる。さらに $10^3$ には小数点の位置(桁数)を決めるだけの働きしかなく,実際の数字の並びは $10^{0.4771}$ の部分が表していることも分かる。
 ここで $\log_{10}3=0.4771$ であることを利用すると
\begin{align*} a&=10^{0.4771}\times10^3 \\[4pt] &=3\times10^3=3000 \end{align*}
となり,$a$ は最高位の数字は3の4桁の数であることが分かる。この例は $\log_{10}3=0.4771$ がそのまま使える形だったから,比較的簡単に理解できただろう。
 次は $\log_{10}a=5.9242$ となる $a$ の桁数と最高位の数字を考えてみる。指数表示に変形すると
\begin{align*} a=10^{5.9242}=10^{0.9242}\times10^5 \end{align*}
となる。$\log_{10}2=0.3010$ と $\log_{10}3=0.4771$ を利用すると
\begin{align*} &\log_{10}8=3\log_{10}2=0.9030 \\[4pt] &\log_{10}9=2\log_{10}3=0.9542 \end{align*}
であるから
\begin{align*} \log_{10}8<0.9242<\log_{10}9 \end{align*}
であることが分かる。これより
\begin{align*} &\log_{10}8+5<\log_{10}a<\log_{10}9+5 \\[4pt] &8\Cdota10^5<a<9\Cdota10^5 \end{align*}
となるから,$a$ は整数部分は6桁で最高位の数字が8と分かる。

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