【数学ⅡB】不等式の証明－差を作る－【秋田大・横浜国立大】

ここでは不等式の証明問題について説明します。

等式の証明と異なり，ほとんどの場合，不等式の証明はそれより難しいことが多いです。

不等式が成り立つことを証明する方法には，いくつかの考え方がありますが，ここでは，両辺の差をとる考え方について説明します。

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不等式の証明問題

2013年秋田大$a,~b,~c,~x,~y,~z$ はすべて正の実数である。次の問いに答えよ。
(1) 不等式 $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2$ が成り立つことを証明せよ。
(2) (1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ。
(3) $a^2+b^2+c^2=25$, $x^2+y^2+z^2=36$, $ax+by+cz=30$ のとき，$\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$ の値を求めよ。

【(1)の考え方と解答】
左辺から右辺を引いたものが0以上になることを示そう。

\begin{align*}
&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2 \\[4pt]
&=a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)+c^2(x^2+y^2)-(2abxy+2bcyz+2cazx) \\[4pt]
&=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2
\end{align*}

$a,~b,~c,~x,~y,~z$ はすべて正の実数であるから，

\begin{align*}
(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2\geqq0
\end{align*}

である。したがって

\begin{align*}
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)\geqq(ax+by+cz)^2
\end{align*}

が成り立つ。

(2) (1)において等号が成り立つのはどのようなときかを示せ。

【(2)の考え方と解答】
(1)の等号が成り立つのは

\begin{align*}
ay-bx=0~かつ~bz-cy=0~かつ~cx-az=0
\end{align*}

が成り立つときである。このとき

\begin{align*}
&\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}~かつ~\dfrac{b}{c}=\dfrac{y}{z}~かつ~\dfrac{c}{a}=\dfrac{z}{x} \\[4pt]
&a:b=x:y~かつ~b:c=y:z~かつ~c:a=z:x
\end{align*}

すなわち $a:b:c=x:y:z$ が成り立つときである。

(3) $a^2+b^2+c^2=25$, $x^2+y^2+z^2=36$, $ax+by+cz=30$ のとき，$\dfrac{a+b+c}{x+y+z}$ の値を求めよ。

【(3)の考え方と解答】
与えられている式が(1)に現れる式だから，(1),(2)の結果を利用することを考えよう。

\begin{align*}
&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=25\Cdota36=900 \\[4pt]
&(ax+by+cz)^2=30^2=900
\end{align*}

であるから，与えられている式が成り立つときは(1)の等号が成り立つときである。したがって，(2)の結果から，$a:b:c=x:y:z$ が成り立つから，正の実数 $k$ を用いて

\begin{align*}
a=kx,~b=ky,~c=kz
\end{align*}

と表せる。与えられている式に代入すると

\begin{align*}
&k^2(x^2+y^2+z^2)=25 \\[4pt]
&x^2+y^2+z^2=36 \\[4pt]
&k(x^2+y^2+z^2)=30
\end{align*}

$k$ は正であるから，$k=\dfrac{5}{6}$
したがって

\begin{align*}
\dfrac{a+b+c}{x+y+z}=\dfrac{k(x+y+z)}{x+y+z}=k=\dfrac{5}{6}
\end{align*}