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【数学ⅡB】条件式がある等式の証明問題【岡山県立大・関西大】

条件式がある等式の証明数学IAIIB
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ここでは等式の証明問題について説明します。

ある文字について常に成り立つ等式は恒等式ですから,簡単な等式の証明問題では,一方から他方へ変形することで,その等式が成り立つことを証明することができます。

大学入試で,そのような簡単な等式の証明問題が出題されることは少ないです。

ほとんどが,ある条件の下で成り立つ等式を証明する問題が出題されます。

与えられた条件式の使い方を含めた考え方を知って使えるようにしましょう。

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条件式がある等式の証明問題

2016年 岡山県立大実数 $a,~b,~c$ が $a+b+c=5$ かつ $ab+bc+ca=4+abc$ を満たすとき,$a,~b,~c$ の少なくとも一つは1であることを示せ。
【考え方と解答】
 「証明問題の4つのパターン」の1つである「式→文章」のタイプだから,結論の部分を数式で表すことが考えよう。どのように考えて数式で表すかということについての詳細は「証明問題の4つのパターン」で解説しているから,苦手な人は,この続きを読む前に「証明問題の4つのパターン」を読んだ方が良いだろう。
 「$a,~b,~c$ の少なくとも一つは1である」ことを示すために,
\begin{align*}
(a-1)(b-1)(c-1)=0
\end{align*}
が成り立つことを示す。このことが分かれば,左辺を変形して,その途中で与えられた条件式を利用して0になることを証明すれば良いことが分かる。
\begin{align*}
(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
\end{align*}
の右辺に与えられた条件式を用いると
\begin{align*}
(a-1)(b-1)(c-1)=abc-(4+abc)+5-1=0
\end{align*}
となるから,$a-1,~b-1,~c-1$ の少なくとも一つは0である。すなわち,$a,~b,~c$ の少なくとも一つは1である。

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