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2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 命題

2017年 センター数学ⅠA 命題数学IAIIB
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2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 命題の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年 センターⅠA 第1問 命題 次の間いに答えよ。必要ならば,$\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてよい。
(1) $A$ を有理数全体の集合,$B$ を無理数全体の集合とする。空集合を $\varnothing$ と表す。
 次の(i)~(iv)が真の命題になるように,$\mybox{サ}$ ~ $\mybox{セ}$ に当てはまるものを,下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) $A\,\myBox{サ}\,\{0\}$  (ⅱ) $\sqrt{28}\,\myBox{シ}\,B$
(ⅲ) $A=\{0\}\,\myBox{ス}\,A$  (ⅳ) $\varnothing=A\,\myBox{セ}\,B$
⓪ $\in$ ① $\ni$ ② $\subset$ ③ $\supset$ ④ $\cap$ ⑤ $\cup$
(2) 実数 $x$ に対する条件 $p,~q,~r$ を次のように定める。
 $p:x$ は無理数
 $q:x+\sqrt{28}$ は有理数
 $r:\sqrt{28}x$ は有理数
 次の $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
  $p$ は $q$ であるための $\myBox{ソ}$。
  $p$ は $r$ であるための $\myBox{タ}$。
⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが,十分条件でない
② 十分条件であるが,必要条件でない
③ 必要条件でも十分条件でもない
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

集合に関連する記号の使い方の理解度を調べる問題だね。

集合に関する記号集合と要素:$\in,~\ni$
集合の包含関係:$\subset,~\supset$
集合の和集合と共通部分:$\cap,~\cup$
【サの解答】
両辺がともに集合だから,包含関係を聞かれている。$A$ は有理数全体の集合だから,$A\supset\{0\}$ となる。$\myBox{サ}=③$
ヒロ
ヒロ

$\{0\}$ は0だけを要素にもつ集合という意味だから間違えないようにしよう。

ヒロ
ヒロ

次は要素と集合の関係。

【シの解答】
$\sqrt{28}$ が要素で $B$ が集合だから,$\sqrt{28}\in B$ となる。$\myBox{シ}=⓪$
ヒロ
ヒロ

選択肢に $\notin$ などがないため,要素と集合の関係を表す⓪か①が答えになる。さらに,集合の方に開くから,すぐに⓪が答だと分かる。

ヒロ
ヒロ

次は集合同士の関係で,等号があるから④か⑤が答だね。

【スセの解答】
$A\supset\{0\}$ より,$A=\{0\}\cup A$ となる。$\myBox{ス}=⑤$
$A$ が有理数全体の集合で,$B$ が無理数全体の集合だから,$\varnothing=A\cap B$ である。$\myBox{セ}=④$

(2)の解答

(2) 実数 $x$ に対する条件 $p,~q,~r$ を次のように定める。
 $p:x$ は無理数
 $q:x+\sqrt{28}$ は有理数
 $r:\sqrt{28}x$ は有理数
 次の $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$ に当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
  $p$ は $q$ であるための $\myBox{ソ}$。
  $p$ は $r$ であるための $\myBox{タ}$。
⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが,十分条件でない
② 十分条件であるが,必要条件でない
③ 必要条件でも十分条件でもない

ヒロ
ヒロ

例外なく成り立つかをしっかり考えて判別しよう。

【ソの解答】
$p\to q$ を調べる。
$x=\sqrt{7}$ のとき,条件 $p$ を満たすが,条件 $q$ を満たさない。よって,$p\to q$ は偽である。
$q\to p$ を調べる。
$x+\sqrt{28}$ が有理数のとき,$m$ を有理数として,$x=m-\sqrt{28}$ と表せる。このとき $x$ は無理数であるから $q\to p$ は真である。
よって,$p$ は $q$ であるための必要条件であるが,十分条件でない。$\myBox{ソ}=①$
ヒロ
ヒロ

次は掛け算になっている。

【タの解答】
$p\to r$ を調べる。
$x=\sqrt{2}$ のとき,条件 $p$ を満たすが,条件 $q$ を満たさない。よって,$p\to r$ は偽である。
$r\to p$ を調べる。
$x=0$ のとき $\sqrt{28}x=0$ となり条件 $r$ を満たすが,条件 $p$ を満たさない。よって,$r\to p$ は偽である。
よって,$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{タ}=③$

2016年 センター数学ⅠA 命題を解いた感想

ヒロ
ヒロ

(1)については数学記号を正しく理解していれば,簡単だろう。

ヒロ
ヒロ

(2)の $\myBox{タ}$ については,$x=\sqrt{7},~\sqrt{28}$ を考えてしまうと,$r\to p$ が真になり,$\myBox{ソ}$ と答が同じになってしまう。

ヒロ
ヒロ

そうなると,必要十分条件に関する問題が2問しかなく,その答が一致するなんて,あまり考えられないからどちらかが間違っていると思ってしまう。

ヒロ
ヒロ

しかし,数学が苦手な人にとっては,本当にそうなのか,実はそれで合っているのかの区別が付きにくいため,悩んだ人が多いような気がする。

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