2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 命題の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
(1) $A$ を有理数全体の集合，$B$ を無理数全体の集合とする。空集合を $\varnothing$ と表す。
次の(i)～(iv)が真の命題になるように，$\mybox{サ}$ ～ $\mybox{セ}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
(i) $A\,\myBox{サ}\,\{0\}$ (ⅱ) $\sqrt{28}\,\myBox{シ}\,B$
(ⅲ) $A=\{0\}\,\myBox{ス}\,A$ (ⅳ) $\varnothing=A\,\myBox{セ}\,B$
⓪ $\in$ ① $\ni$ ② $\subset$ ③ $\supset$ ④ $\cap$ ⑤ $\cup$
(2) 実数 $x$ に対する条件 $p,~q,~r$ を次のように定める。
$p:x$ は無理数
$q:x+\sqrt{28}$ は有理数
$r:\sqrt{28}x$ は有理数
次の $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
$p$ は $q$ であるための $\myBox{ソ}$。
$p$ は $r$ であるための $\myBox{タ}$。
⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが，十分条件でない
② 十分条件であるが，必要条件でない
③ 必要条件でも十分条件でもない
(1)の解答
集合に関連する記号の使い方の理解度を調べる問題だね。
集合の包含関係：$\subset,~\supset$
集合の和集合と共通部分：$\cap,~\cup$
両辺がともに集合だから，包含関係を聞かれている。$A$ は有理数全体の集合だから，$A\supset\{0\}$ となる。$\myBox{サ}=③$
$\{0\}$ は0だけを要素にもつ集合という意味だから間違えないようにしよう。
次は要素と集合の関係。
$\sqrt{28}$ が要素で $B$ が集合だから，$\sqrt{28}\in B$ となる。$\myBox{シ}=⓪$
選択肢に $\notin$ などがないため，要素と集合の関係を表す⓪か①が答えになる。さらに，集合の方に開くから，すぐに⓪が答だと分かる。
次は集合同士の関係で，等号があるから④か⑤が答だね。
$A\supset\{0\}$ より，$A=\{0\}\cup A$ となる。$\myBox{ス}=⑤$
$A$ が有理数全体の集合で，$B$ が無理数全体の集合だから，$\varnothing=A\cap B$ である。$\myBox{セ}=④$
(2)の解答
(2) 実数 $x$ に対する条件 $p,~q,~r$ を次のように定める。
$p:x$ は無理数
$q:x+\sqrt{28}$ は有理数
$r:\sqrt{28}x$ は有理数
次の $\mybox{ソ}$, $\mybox{タ}$ に当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。
$p$ は $q$ であるための $\myBox{ソ}$。
$p$ は $r$ であるための $\myBox{タ}$。
⓪ 必要十分条件である
① 必要条件であるが，十分条件でない
② 十分条件であるが，必要条件でない
③ 必要条件でも十分条件でもない
例外なく成り立つかをしっかり考えて判別しよう。
$p\to q$ を調べる。
$x=\sqrt{7}$ のとき，条件 $p$ を満たすが，条件 $q$ を満たさない。よって，$p\to q$ は偽である。
$q\to p$ を調べる。
$x+\sqrt{28}$ が有理数のとき，$m$ を有理数として，$x=m-\sqrt{28}$ と表せる。このとき $x$ は無理数であるから $q\to p$ は真である。
よって，$p$ は $q$ であるための必要条件であるが，十分条件でない。$\myBox{ソ}=①$
次は掛け算になっている。
$p\to r$ を調べる。
$x=\sqrt{2}$ のとき，条件 $p$ を満たすが，条件 $q$ を満たさない。よって，$p\to r$ は偽である。
$r\to p$ を調べる。
$x=0$ のとき $\sqrt{28}x=0$ となり条件 $r$ を満たすが，条件 $p$ を満たさない。よって，$r\to p$ は偽である。
よって，$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。$\myBox{タ}=③$
2016年 センター数学ⅠA 命題を解いた感想
(1)については数学記号を正しく理解していれば，簡単だろう。
(2)の $\myBox{タ}$ については，$x=\sqrt{7},~\sqrt{28}$ を考えてしまうと，$r\to p$ が真になり，$\myBox{ソ}$ と答が同じになってしまう。
そうなると，必要十分条件に関する問題が2問しかなく，その答が一致するなんて，あまり考えられないからどちらかが間違っていると思ってしまう。
しかし，数学が苦手な人にとっては，本当にそうなのか，実はそれで合っているのかの区別が付きにくいため，悩んだ人が多いような気がする。
