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- 1 不等式の証明問題2
不等式の証明問題2
2015年 横浜国立大$x,~y,~z$ を正の実数とし，$n$ を自然数とする。次の問いに答えよ。
(1) 不等式
(2) 不等式
(1) 不等式
\begin{align*}
(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0
\end{align*}
が成り立つことを示せ。(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0
\end{align*}
(2) 不等式
\begin{align*}
3(x^n+y^n+z^n)\geqq(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(x+y+z)
\end{align*}
が成り立つことを示せ。3(x^n+y^n+z^n)\geqq(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(x+y+z)
\end{align*}
【(1)の考え方と解答】
$x$ と $y$ の大小関係が決まっていないので，場合分けをしよう。
(i) $x\geqq y>0$ のとき
$x^{n-1}\geqq y^{n-1}$ であるから
(ii) $y\geqq x>0$ のとき
$x^{n-1}\leqq y^{n-1}$ であるから
(i), (ii)より，$(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0$ が成り立つ。
$x$ と $y$ の大小関係が決まっていないので，場合分けをしよう。
(i) $x\geqq y>0$ のとき
$x^{n-1}\geqq y^{n-1}$ であるから
\begin{align*}
(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0
\end{align*}
が成り立つ。(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0
\end{align*}
(ii) $y\geqq x>0$ のとき
$x^{n-1}\leqq y^{n-1}$ であるから
\begin{align*}
(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0
\end{align*}
が成り立つ。(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0
\end{align*}
(i), (ii)より，$(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)\geqq0$ が成り立つ。
(2) 不等式
\begin{align*}が成り立つことを示せ。
3(x^n+y^n+z^n)\geqq(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(x+y+z)
\end{align*}
【(2)の考え方と解答】
(1)の結果をうまく利用しよう。
(1)の結果をうまく利用しよう。
\begin{align*}
&3(x^n+y^n+z^n)-(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(x+y+z) \\[4pt]
&=2(x^n+y^n+z^n)-(x^{n-1}y+xy^{n-1}+y^{n-1}z+yz^{n-1}+z^{n-1}x+zx^{n-1}) \\[4pt]
&=(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)+(y^{n-1}-z^{n-1})(y-z)+(z^{n-1}-x^{n-1})(z-x)\geqq0
\end{align*}
よって&3(x^n+y^n+z^n)-(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(x+y+z) \\[4pt]
&=2(x^n+y^n+z^n)-(x^{n-1}y+xy^{n-1}+y^{n-1}z+yz^{n-1}+z^{n-1}x+zx^{n-1}) \\[4pt]
&=(x^{n-1}-y^{n-1})(x-y)+(y^{n-1}-z^{n-1})(y-z)+(z^{n-1}-x^{n-1})(z-x)\geqq0
\end{align*}
\begin{align*}
3(x^n+y^n+z^n)\geqq(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(x+y+z)
\end{align*}
が成り立つ。3(x^n+y^n+z^n)\geqq(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})(x+y+z)
\end{align*}