【数学IA】三角形の形状決定問題【長崎県立大・宮城教育大・横浜国立大】

ここでは三角形の形状決定問題について説明します。

三角形の形状を大きく分類すると

鋭角三角形
直角三角形
鈍角三角形

の3つに分けることができます。

これについては次の記事で説明しているので，参考にして下さい。

ここでは三角形の成立条件に関する問題を解説します。三角形の3つの辺の長さは好きなように設定することはできません。例えば長さが1, 1, 2の3本の線分からは三角形を作ることはできません。したがって，3本の線分から三角形を作ることができるとき...

今回はもう少し詳しい形状を考えます。

つまり，直角三角形なら「どの角が直角であるか」や，二等辺三角形なら「どの2辺の長さが等しいか」などについても触れて答えるようにします。

正弦定理と余弦定理を使いこなせることが前提となっているため，知識があやふやな人は復習しておきましょう。

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1 三角形の形状決定問題の基本的な考え方
2 2007年長崎県立大
3 2005年宮城教育大
4 2003年横浜国立大

三角形の形状決定問題の基本的な考え方

ヒロ

まずは三角形の形状決定問題の基本的な考え方を身に付けよう。

三角形の形状決定問題正弦定理や余弦定理を用いて，辺だけの式に変形するのが基本である。場合によっては角だけの式に変形するのも有効である。

ヒロ

辺だけの式に変形したあとは，因数分解できるかどうかで解けるかどうかが決まる。

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ヒロ

実際に出題された入試問題を解いてみよう。

2007年長崎県立大

問題

$\sankaku{ABC}$ において，等式

$\begin{align*} \sin A=2\cos B\sin C \end{align*}$

が成り立つとき，この三角形はどのような形をしているか求めなさい。

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

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【考え方と解答】

$\sankaku{ABC}$ の外接円の半径を

$R$ とすると，正弦定理より

$\begin{align*} \sin A=\dfrac{a}{2R},~\sin B=\dfrac{b}{2R},~\sin C=\dfrac{c}{2R} \end{align*}$

であり，余弦定理より

$\begin{align*} &\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \end{align*}$

であるから，与えられた等式より

$\begin{align*} &\dfrac{a}{2R}=2\Cdota\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\Cdota\dfrac{c}{2R} \\[4pt] &a^2=c^2+a^2-b^2 \\[4pt] &(b+c)(b-c)=0 \end{align*}$

$b+c\neq0$ より，

$b=c$
よって，

$\sankaku{ABC}$ は

$\text{AB}=\text{AC}$ である二等辺三角形である。

2005年宮城教育大

問題

$\sankaku{ABC}$ の3つの角

$\kaku{A},~\kaku{B},~\kaku{C}$ の大きさをそれぞれ

$A,~B,~C$ とし，それらの角の対辺の長さをそれぞれ

$a,~b,~c$ で表す。次の問に理由とともに答えよ。
(1)

$\sankaku{ABC}$ が

$\sin A+\cos A=1$ をみたすとき，

$\sankaku{ABC}$ はどのような三角形であるか。
(2)

$\sankaku{ABC}$ が

$a\sin A=b\sin B$ をみたすとき，

$\sankaku{ABC}$ はどのような三角形であるか。
(3)

$\sankaku{ABC}$ が

$2\cos B\cdot\sin C=\sin A$ をみたすとき，

$\sankaku{ABC}$ はどのような三角形であるか。

【(1)の考え方と解答】

$\sin A$ と

$\cos A$ がどちらも1次だから，どちらか一方に統一することはできない（無理やりならできるけど意味がない）。あとは利用できるのは

$\sin^2A+\cos^2A=1$ であるから，両辺を2乗してみよう。

$\sin A+\cos A=1$ の両辺を2乗すると

$\begin{align*} &(\sin A+\cos A)^2=1 \\[4pt] &\cos^2A+2\sin A\cos A+\cos^2A=1 \\[4pt] &1+2\sin A\cos A=1 \\[4pt] &\sin A\cos A=0 \end{align*}$

$A$ は三角形の内角の1つであるから，

$\sin A\neq0$ となるから

$\cos A=0$ である。
よって，

$A=90\Deg$ となるから，

$\sankaku{ABC}$ は

$A=90\Deg$ の直角三角形である。

(2) $\sankaku{ABC}$ が $a\sin A=b\sin B$ をみたすとき， $\sankaku{ABC}$ はどのような三角形であるか。

【(2)の考え方と解答】

$\sankaku{ABC}$ の外接円の半径を

$R$ とすると，正弦定理より

$\begin{align*} \sin A=\dfrac{a}{2R},~\sin B=\dfrac{b}{2R} \end{align*}$

であるから，与えられた等式より

$\begin{align*} &a\Cdota\dfrac{a}{2R}=b\Cdota\dfrac{b}{2R} \\[4pt] &a^2=b^2 \end{align*}$

$a,~b$ はともに正であるから，

$a=b$
よって，

$\sankaku{ABC}$ は

$\text{BC}=\text{AC}$ の二等辺三角形である。

(3) $\sankaku{ABC}$ が $2\cos B\cdot\sin C=\sin A$ をみたすとき， $\sankaku{ABC}$ はどのような三角形であるか。

【(3)の考え方と解答】

$\sankaku{ABC}$ の外接円の半径を

$R$ とすると，与えられた等式より

$\begin{align*} &2\Cdota\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\Cdota\dfrac{c}{2R}=\dfrac{a}{2R} \\[4pt] &c^2+a^2-b^2=a^2 \\[4pt] &b^2=c^2 \end{align*}$

$b,~c$ はともに正であるから

$b=c$
よって，

$\sankaku{ABC}$ は

$\text{AB}=\text{AC}$ の二等辺三角形である。

2003年横浜国立大

問題

$\sankaku{ABC}$ において

$a=\text{BC}$ ,

$b=\text{CA}$ ,

$c=\text{AB}$ とする。

$\begin{align*} a^2\cos A\sin B=b^2\cos B\sin A \end{align*}$

が成り立つとき，

$\sankaku{ABC}$ はどのような形か。

【考え方と解答】

$\sankaku{ABC}$ の外接円の半径を

$R$ とする。与えられた等式において，正弦定理と余弦定理を用いると

$\begin{align*} &a^2\Cdota\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\Cdota\dfrac{b}{2R}=b^2\Cdota\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\Cdota\dfrac{a}{2R} \\[4pt] &a^2(b^2+c^2-a^2)=b^2(c^2+a^2-b^2) \\[4pt] &a^2c^2-a^4=b^2c^2-b^4 \\[4pt] &a^4-b^4-c^2(a^2-b^2)=0 \\[4pt] &(a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)=0 \\[4pt] &(a+b)(a-b)(a^2+b^2-c^2)=0 \end{align*}$

$a+b\neq0$ であるから，

$a=b$ または

$a^2+b^2=c^2$
よって，

$\sankaku{ABC}$ は

$a=b$ の二等辺三角形または

$\kaku{C}=90\Deg$ の直角三角形である。

三角形の形状決定問題の基本的な考え方

2007年 長崎県立大

2005年 宮城教育大

2003年 横浜国立大

2007年長崎県立大

2005年宮城教育大

2003年横浜国立大