2019年センター試験 数学ⅠA 第1問 二次関数

2019年センター試験数学ⅠA 第1問二次関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年センターⅠA 第1問二次関数　$a$ と $b$ はともに正の実数とする。$x$ の2次関数

\begin{align*}
y=x^{2}+(2a-b)x+a^{2}+1
\end{align*}

のグラフを $G$ とする。
(1) グラフ $G$ の頂点の座標は

\begin{align*}
\left(\dfrac{b}{\myBox{チ}}-a,~-\dfrac{b^2}{\myBox{ツ}}+ab+\myBox{テ}\right)
\end{align*}

である。
(2) グラフ $G$ が点 $(-1,~6)$ を通るとき，$b$ のとり得る値の最大値は $\myBox{ト}$ であり，そのときの $a$ の値は $\myBox{ナ}$ である。
　$b=\mybox{ト}$, $a=\mybox{ナ}$のとき，グラフ $G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラフ $x$ 軸方向に $\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}$，$y$ 軸方向に $\dfrac{\myBox{ネノ}}{\myBox{ハ}}$ だけ平行移動したものである。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2019年センター数学ⅠA 二次関数を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

二次関数の頂点の座標を求める定番中の定番と言える問題。

ヒロ

通常は平方完成するのだろうが，ここでは別の方法を紹介しておこう。

【二次関数の頂点の座標】
　二次関数 $y=ax^2+bx+c$ の頂点の座標を求める場合，まず頂点の $x$ 座標を求めよう。
これは軸の方程式に等しく，$x=-\dfrac{b}{2a}$ とすぐに書けるようにしている人は多い。
頂点の $y$ 座標は，頂点の $x$ 座標に応じて求め方を変える。
① 頂点の $x$ 座標が整数や比較的簡単な数のとき
　$y=ax^2+bx+c$ の $x$ に代入して求めるのが速い。
② ①以外のとき
　判別式 $D=b^2-4ac$ を計算して，頂点の $y$ 座標 $y=-\dfrac{D}{4a}$ に代入して求める。

【チ～テの解答】
頂点の $x$ 座標は

\begin{align*}
x=-\dfrac{2a-b}{-2}=\dfrac{b}{2}-a
\end{align*}

判別式を $D$ とすると

\begin{align*}
D&=(2a-b)^2-4(a^2+1) \\[4pt]
&=-4ab+b^2-4
\end{align*}

となるから，頂点の $y$ 座標は

\begin{align*}
y&=-\dfrac{D}{4} \\[4pt]
&=-\dfrac{b^2}{4}+ab+1
\end{align*}

(2)の解答

(2) グラフ $G$ が点 $(-1,~6)$ を通るとき，$b$ のとり得る値の最大値は $\myBox{ト}$ であり，
そのときの $a$ の値は $\myBox{ナ}$ である。
　$b=\mybox{ト}$, $a=\mybox{ナ}$のとき，グラフ $G$ は2次関数 $y=x^2$ のグラ
フ $x$ 軸方向に $\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}$,
$y$ 軸方向に $\dfrac{\myBox{ネノ}}{\myBox{ハ}}$ だけ平行移動したものである。