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【数学IA】くじ引きの公平性【独立な試行の確率】

くじ引きの公平性数学IAIIB
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ここではくじ引きの確率について解説します。

くじ引きではくじを引く順番に関係なく,当たる確率が等しいことが知られています。

「当たる確率が等しい」とだけ言われても「本当かよ!?」と疑問に思う人もいるでしょう。

具体的な問題を通じて「くじ引きの公平性」について学びましょう。

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独立な試行の確率

ヒロ
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まず,独立な試行とは何かを知ろう。

独立な試行2つの試行が互いに他方の結果に影響を及ぼさないとき,これらの試行は独立であるという。
【独立な試行の例】
1個のさいころを投げる試行と,1枚のコインを投げる試行を考える。
これらの試行において,さいころのどの目が出るかということと,コインの表と裏のどちらが出るかということは無関係である。もう少し具体的に言うと,さいころの目が偶数のときにコインを投げると表が出やすいということはない。
ヒロ
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2つの独立な試行について考える。

【独立な試行】
2つの独立な試行S,Tを行うとき,それぞれの全事象をそれぞれ $U_S,~U_T$ とすると,起こりうるすべての場合の数は
\begin{align*}
n(U_S)\times n(U_T)
\end{align*}
となる。
試行Sで事象 $A$ が起こり,試行Tで事象 $B$ が起こるという事象を $C$ とすると,事象 $C$ が起こる場合の数は
\begin{align*}
n(A)\times n(B)
\end{align*}
であるから,事象 $C$ が起こる確率は
\begin{align*}
P(C)&=\dfrac{n(A)\times n(B)}{n(U_S)\times n(U_T)} \\[4pt]
&=\dfrac{n(A)}{n(U_S)}\times\dfrac{n(B)}{n(U_T)}
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\dfrac{n(A)}{n(U_S)}=P(A),~\dfrac{n(B)}{n(U_T)}=P(B)
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
P(C)=P(A)P(B)
\end{align*}
となる。
独立な試行の確率2つの独立な試行S,Tを行うとき,Sでは事象 $A$ が起こり,Tでは事象 $B$ が起こるという事象を $C$ とすると,事象 $C$ が起こる確率は次のように表される。
\begin{align*}
P(C)=P(A)P(B)
\end{align*}

くじ引きの公平性

ヒロ
ヒロ

次の問題は実際に定期テストで出題されたもの。

問題当たりくじ2本が入ったくじ10本がある。いま,A君,Bさん,Cさんの3人がこの順に引いたくじを戻さずに,くじを引くことにしたら,Cさんからクレームが出た。「当たりが2本しかないので自分が引くとき,当たりがないことがあるので不公平だ」というものです。3人の当たる確率 $P(A),~P(B),~P(C)$ を計算し,Cさんを説得して下さい。
【Cさんを説得する】
最初にくじを引くA君の当たる確率を求める。
くじの引き方は10通りで,当たりくじの選び方は2通りだから,A君の当たる確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}
次にBさんの当たる確率を求める。
Bさんが当たりくじを引くのは次の2つの場合がある。
 (i) A君が当たりくじを引いて,Bさんも当たりくじを引く。
 (ii) A君がはずれくじを引いて,Bさんが当たりくじを引く。
(i)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{10}\Cdota\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}
(ii)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{2}{9}=\dfrac{8}{45}
\end{align*}
(i)と(ii)は排反事象であるから,Bさんの当たる確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{45}+\dfrac{8}{45}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}
Cさんの当たる確率を求めよう。
当たりくじを引くことを○で表し,はずれくじを引くことを×で表すことにする。
Cさんが当たりくじを引くのは次の3つ場合がある。
 (i) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(○,~×,~○)$
 (ii) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(×,~○,~○)$
 (iii) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(×,~×,~○)$
(i)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{10}\Cdota\dfrac{8}{9}\Cdota\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}
(ii)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{2}{9}\Cdota\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}
(iii)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{7}{9}\Cdota\dfrac{2}{8}=\dfrac{7}{45}
\end{align*}
(i)~(iii)は排反事象であるから,Cさんの当たる確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{45}+\dfrac{7}{45}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}
以上より,3人の当たる確率はすべて $\dfrac{1}{5}$ で等しく,くじを引く順番は関係なく,くじ引きの公平性が示された。

くじ引きに関する確率

問題7本のくじがあり,そのうちの3本が当たりであるとする。このくじをまずAが同時に2本引き,次にBが同時に2本引く。このとき,次の場合の確率を求めよ。ただし,引いたくじは元に戻さないものとする。
(1) Aが1本だけ当たり,Bも1本だけ当たる。
(2) Bが1本だけ当たる。
【(1)の考え方と解答】
くじを2本引いて1本だけ当たるということは,もう1本ははずれであることを意識しよう。また,引いたくじを元に戻さないから,Bが引くときはくじの本数は5本になっていることに注意しよう。
Aが1本だけ当たり,Bも1本だけ当たる確率は,AとBがともに1本当たり,もう1本はずれを引く確率だから
\begin{align*}
\dfrac{3\Cdot4}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{2\Cdot3}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{12}{21}\times\dfrac{6}{10} \\[4pt]
&=\dfrac{12}{35}
\end{align*}

(2) Bが1本だけ当たる。

【(2)の考え方と解答】
Bが1本だけ当たるのは次の3つのパターンがある。
 (i) Aが2本当たり,Bが1本だけ当たる。
 (ii) Aが1本だけ当たり,Bも1本だけ当たる。
 (iii) Aがはずれを2本引いて,Bが1本だけ当たる。
(i)のときの確率は
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{3}{2}}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{1\Cdot4}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{3}{21}\times\dfrac{4}{10} \\[4pt]
&=\dfrac{12}{210}=\dfrac{2}{35}
\end{align*}

(ii)のときの確率は,(1)より $\dfrac{12}{35}$
(iii)のときの確率は
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{4}{2}}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{3\Cdot2}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{6}{21}\times\dfrac{6}{10} \\[4pt]
&=\dfrac{36}{210}=\dfrac{6}{35}
\end{align*}
(i),(ii)より,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{35}+\dfrac{12}{35}+\dfrac{6}{35}=\dfrac{20}{35}=\dfrac{4}{7}
\end{align*}
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