2018年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
2018年 センターⅠA 第1問 数と式 $x$ を実数とし
$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき，$X=\myBox{オ}$ であり，$A=2^{~\myBox{カ}}$ である。
\begin{align*}
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
\end{align*}
とおく。整数 $n$ に対してA=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
\end{align*}
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\myBox{ア}\,n
\end{align*}
であり，したがって，$X=x(5-x)$ とおくと(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\myBox{ア}\,n
\end{align*}
\begin{align*}
A=X\left(X+\myBox{イ}\right)\left(X+\myBox{ウエ}\right)
\end{align*}
と表せる。A=X\left(X+\myBox{イ}\right)\left(X+\myBox{ウエ}\right)
\end{align*}
$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき，$X=\myBox{オ}$ であり，$A=2^{~\myBox{カ}}$ である。
考え方と解答
ヒロ
最初は展開するだけだから，大丈夫だろう。
【アの解答】
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)&=(x+n)\{(5-x)+n\} \\[4pt]
&=x(5-x)+\{x+(5-x)\}n+n^2 \\[4pt]
&=x(5-x)+n^2+5n
\end{align*}
(x+n)(n+5-x)&=(x+n)\{(5-x)+n\} \\[4pt]
&=x(5-x)+\{x+(5-x)\}n+n^2 \\[4pt]
&=x(5-x)+n^2+5n
\end{align*}
ヒロ
これは空欄を埋めることだけを考えた場合は，$n$ の係数だけを考えれば良い。
ヒロ
しかも空欄の形から2～9の数字が入ることが分かるから，一瞬で5が答だと分かる。
ヒロ
まぁこんなことを考えなくても，普通に解いても，すぐ求められるからどっちでも良いね。
ヒロ
さぁ次に進もう。次は $A$ を $X$ で表す問題。
【イ～エの解答】
$X=x(5-x)$ とおいてることと，直前に $(x+n)(n+5-x)$ を計算させている意味を考えよう。
例えば $n=0$ のとき，$n^2+5n=0$ だから
$n=2$ のとき，$n^2+5n=14$ だから
$X=x(5-x)$ とおいてることと，直前に $(x+n)(n+5-x)$ を計算させている意味を考えよう。
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=X+n^2+5n
\end{align*}
となるから，後ろの $n^2+5n$ を計算すれば良いことが分かる。(x+n)(n+5-x)=X+n^2+5n
\end{align*}
例えば $n=0$ のとき，$n^2+5n=0$ だから
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)=X
\end{align*}
$n=1$ のとき，$n^2+5n=6$ だから(x+n)(n+5-x)=x(5-x)=X
\end{align*}
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=(x+1)(6-x)=X+6
\end{align*}
ここまで来れば，あと1組残っているのが誰でも分かるだろう。(x+n)(n+5-x)=(x+1)(6-x)=X+6
\end{align*}
$n=2$ のとき，$n^2+5n=14$ だから
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=(x+2)(7-x)=X+14
\end{align*}
よって，(x+n)(n+5-x)=(x+2)(7-x)=X+14
\end{align*}
\begin{align*}
A=X(X+6)(X+14)
\end{align*}
A=X(X+6)(X+14)
\end{align*}
ヒロ
最後は $x$ の値から $X$ と $A$ の値を求める問題。
ヒロ
与えられている $x$ の値が分数で無理数ということは，そのまま代入するのではなく，0になる2次式を利用する問題だと気付けると良いかも。
ヒロ
今回は有理数の部分が $\dfrac{5}{2}$ だから，$X$ が簡単な値になることが，すぐに分かる（はず）。
ヒロ
分からなくても，空欄を見れば分かるし，どういう方法や考えであろうが，$X$ の値を求めないといけないのだから，計算するだけだね。
【オカの解答】
$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき
$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき
\begin{align*}
X&=x(5-x) \\[4pt]
&=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\Cdota\dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{25-17}{4}=2
\end{align*}
このときX&=x(5-x) \\[4pt]
&=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\Cdota\dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{25-17}{4}=2
\end{align*}
\begin{align*}
A&=2\Cdota(2+6)\Cdota(2+14) \\[4pt]
&=2\Cdota2^3\Cdota2^4=2^8
\end{align*}
A&=2\Cdota(2+6)\Cdota(2+14) \\[4pt]
&=2\Cdota2^3\Cdota2^4=2^8
\end{align*}
2018年 センター数学ⅠA 数と式を解いた感想
ヒロ
最初の式の見た目に圧倒されないことが大切。
ヒロ
うまく誘導してくれているので，それほど苦労しないだろう。
ヒロ
そのおかげで波に乗ることができるため，スムーズに次の問題に進んでいくことができるだろう。
