休校だからこそ重要な自宅学習

2018年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式

2018年 センター数学ⅠA 数と式数学IAIIB
スポンサーリンク

2018年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年 センターⅠA 第1問 数と式 $x$ を実数とし
\begin{align*}
A=x(x+1)(x+2)(5-x)(6-x)(7-x)
\end{align*}
とおく。整数 $n$ に対して
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)+n^2+\myBox{ア}\,n
\end{align*}
であり,したがって,$X=x(5-x)$ とおくと
\begin{align*}
A=X\left(X+\myBox{イ}\right)\left(X+\myBox{ウエ}\right)
\end{align*}
と表せる。
 $x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき,$X=\myBox{オ}$ であり,$A=2^{~\myBox{カ}}$ である。
スポンサーリンク

考え方と解答

ヒロ
ヒロ

最初は展開するだけだから,大丈夫だろう。

【アの解答】
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)&=(x+n)\{(5-x)+n\} \\[4pt]
&=x(5-x)+\{x+(5-x)\}n+n^2 \\[4pt]
&=x(5-x)+n^2+5n
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

これは空欄を埋めることだけを考えた場合は,$n$ の係数だけを考えれば良い。

ヒロ
ヒロ

しかも空欄の形から2~9の数字が入ることが分かるから,一瞬で5が答だと分かる。

ヒロ
ヒロ

まぁこんなことを考えなくても,普通に解いても,すぐ求められるからどっちでも良いね。

ヒロ
ヒロ

さぁ次に進もう。次は $A$ を $X$ で表す問題。

【イ~エの解答】
$X=x(5-x)$ とおいてることと,直前に $(x+n)(n+5-x)$ を計算させている意味を考えよう。
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=X+n^2+5n
\end{align*}
となるから,後ろの $n^2+5n$ を計算すれば良いことが分かる。
例えば $n=0$ のとき,$n^2+5n=0$ だから
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=x(5-x)=X
\end{align*}
$n=1$ のとき,$n^2+5n=6$ だから
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=(x+1)(6-x)=X+6
\end{align*}
ここまで来れば,あと1組残っているのが誰でも分かるだろう。
$n=2$ のとき,$n^2+5n=14$ だから
\begin{align*}
(x+n)(n+5-x)=(x+2)(7-x)=X+14
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
A=X(X+6)(X+14)
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

最後は $x$ の値から $X$ と $A$ の値を求める問題。

ヒロ
ヒロ

与えられている $x$ の値が分数で無理数ということは,そのまま代入するのではなく,0になる2次式を利用する問題だと気付けると良いかも。

ヒロ
ヒロ

今回は有理数の部分が $\dfrac{5}{2}$ だから,$X$ が簡単な値になることが,すぐに分かる(はず)。

ヒロ
ヒロ

分からなくても,空欄を見れば分かるし,どういう方法や考えであろうが,$X$ の値を求めないといけないのだから,計算するだけだね。

【オカの解答】
$x=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}$ のとき
\begin{align*}
X&=x(5-x) \\[4pt]
&=\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}\Cdota\dfrac{5-\sqrt{17}}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{25-17}{4}=2
\end{align*}
このとき
\begin{align*}
A&=2\Cdota(2+6)\Cdota(2+14) \\[4pt]
&=2\Cdota2^3\Cdota2^4=2^8
\end{align*}

2018年 センター数学ⅠA 数と式を解いた感想

ヒロ
ヒロ

最初の式の見た目に圧倒されないことが大切。

ヒロ
ヒロ

うまく誘導してくれているので,それほど苦労しないだろう。

ヒロ
ヒロ

そのおかげで波に乗ることができるため,スムーズに次の問題に進んでいくことができるだろう。

タイトルとURLをコピーしました