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【数学ⅡB】円の方程式:一般形【武蔵工業大・大阪薬科大・東北薬科大】

円の方程式の一般形数学IAIIB
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円の方程式を表さないときもある

ヒロ
ヒロ

一見,円の方程式を表すように見えても,円の方程式でないことがある。

ヒロ
ヒロ

どのようなときに円の方程式を表さないかを知っておこう。

 例えば,方程式 $x^2+y^2=0$ が表す図形を考える。$x$ と $y$ は実数であるから,$x^2\geqq0$,$y^2\geqq0$ が成り立つ。したがって,すべての実数 $x,~y$ に対して
\begin{align*}
x^2+y^2\geqq0
\end{align*}
が成り立つ。ここで,等号が成り立つのは,$x^2=0$ かつ $y^2=0$ となるとき,すなわち,$x=y=0$ のときである。つまり,$x^2+y^2=0$ は $x=y=0$ と書き換えることができるから,方程式 $x^2+y^2=0$ が表す図形は「原点」である。
 このことを理解することができれば,方程式 $(x-2)^2+(y-1)^2=0$ が表す図形は「点$(2,~1)$」であることも理解できるだろう。
 したがって,方程式 $(x-a)^2+(y-b)^2=r$ が円を表すのは $r>0$ のときである。
※右辺が $r^2$ ではなく,$r$ になっていることに注意。
ヒロ
ヒロ

次に,一般形で考えてみよう。

 方程式 $x^2+y^2+lx+my+n=0$ が円を表す条件を考える。まずは円の基本形になるように変形しよう。平方完成をするときと同じように,$x$ と $y$ の係数の半分を考えて2乗の和を書いて次の状態にする。
\begin{align*}
\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^2=\cdots\cdots
\end{align*}
左辺を展開したときに現れる定数を「なかったものにするため」に右辺にその定数を書いてから,最初からある定数項 $+n$ を移項して右辺に $-n$ を書こう。
\begin{align*}
\left(x+\dfrac{l}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{m}{2}\right)^2=\dfrac{l^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}-n
\end{align*}
これが円を表すのは,右辺が正のときであるから,求める条件は
\begin{align*}
&\dfrac{l^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}-n>0 \\[4pt]
&l^2+m^2-4n>0
\end{align*}
である。

円を表すように定数を定める問題【武蔵工業大】

2007年 武蔵工業大方程式 $x^2+2x+y^2+2ky+3k=0$ が $xy$ 平面上で円を表すような定数 $k$ の範囲を求めよ。
【考え方と解答】
円の方程式を基本形に変形しよう。
$x^2+2x+y^2+2ky+3k=0$ より
\begin{align*}
(x+1)^2+(y+k)^2=k^2-3k+1
\end{align*}
となる。これが円を表すのは $k^2-3k+1>0$ となるときである。これを解いて,求める $k$ の範囲は
\begin{align*}
k<\dfrac{3-\sqrt{5}}{2},~\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}<~k \end{align*}

点を表すように定数を定める問題【大阪薬科大】

2019年 大阪薬科大 $p$ を実数の定数とする。$xy$ 座標平面上において,方程式
\begin{align*}
x^2+y^2-4x-6py-6p+3=0
\end{align*}
が点を表すとき,$p$ の値は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
 まずは基本形に変形しよう。$x^2+y^2-4x-6py-6p+3=0$ より
\begin{align*}
(x-2)^2+(y-3p)^2=9p^2+6p+1
\end{align*}
この方程式が点を表すのは,$9p^2+6p+1=0$ のときであるから
\begin{align*}
&(3p+1)^2=0 \\[4pt]
&p=-\dfrac{1}{3}
\end{align*}

一般形で表された円の中心と半径を求める問題【東北薬科大】

2015年 東北薬科大$x^2-12x+y^2-24y+160=0$ で表される円を $C$ とおく。このとき,円 $C$ の中心Pは $\left(\myBox{ア},~\myBox{イウ}\right)$ で半径は $\myBox{エ}\sqrt{\myBox{オ}}$ である。
【考え方と解答】
 与えられた方程式より
\begin{align*}
&(x-6)^2+(y-12)^2=36+144-160 \\[4pt]
&(x-6)^2+(y-12)^2=20
\end{align*}
よって,円の中心Pは $(6,~12)$ で半径は $2\sqrt{5}$ である。
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