【数学ⅡB】2つの円の共通接線【岐阜聖徳学園大】

$$\begin{align*} (半径の差)<d<(半径の和) \end{align*}$$

$$\begin{align*} px+qy=25~\cdots\cdots① \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\dfrac{\abs{10p-25}}{\sqrt{p^2+q^2}}=10 \\[4pt] &\abs{2p-5}=10~~(\because ②) \\[4pt] &2p-5=\pm10 \\[4pt] &p=\dfrac{15}{2},~-\dfrac{5}{2} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &q^2=25-\dfrac{25}{4}=\dfrac{75}{4} \\[4pt] &q=\pm\dfrac{5\sqrt{3}}{2} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &-\dfrac{5}{2}x\pm\dfrac{5\sqrt{3}}{2}y=25 \\[4pt] &-x\pm\sqrt{3}y=10 \\[4pt] &x\pm\sqrt{3}y+10=0 \end{align*}$$

$$\begin{align*} px+qy=25 \end{align*}$$

$$\begin{align*} y=\dfrac{25-px}{q}~\cdots\cdots① \end{align*}$$

$$\begin{align*} &(x-10)^2+\left(\dfrac{25-px}{q}\right)^2=100 \\[4pt] &q^2(x^2-20x+100)+(p^2x^2-50px+625)=100q^2 \\[4pt] &(p^2+q^2)x^2+(-50p-20q^2)x+625=0 \\[4pt] &25x^2-5(10p+4q^2)x+625=0~~(\because ②) \\[4pt] &5x^2-2(5p+2q^2)+125=0~\cdots\cdots④ \end{align*}$$

$$\begin{align*} &D/4=(5p+2q^2)^2-625=0 \\[4pt] &5p+2q^2=\pm25 \\[4pt] &5p+2(25-p^2)=\pm25 \\[4pt] &2p^2-5p-25=0~~または~~2p^2-5p-75=0 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &(p-5)(2p+5)=0 \\[4pt] &p=5,~-\dfrac{5}{2} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &(p+5)(2p-15)=0 \\[4pt] &p=-5,~\dfrac{15}{2} \end{align*}$$

これを満たす $p$ は，$p=-\dfrac{5}{2}$

このとき，②より，$q=\pm\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

以上より，求める接線の方程式は