【数学ⅡB】2つの円の共通接線【岐阜聖徳学園大】

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2つの円の共通接線を求める問題【岐阜聖徳大】

2018年岐阜聖徳大2つの円 $C_1:x^2+y^2=25$，$C_2:(x-10)^2+y^2=100$ を考える。円 $C_1,~C_2$ の両方に接する直線の方程式を求めよ。

ヒロ

まず，2つの円の位置関係を調べることにする。

【2円の位置関係】
$C_1$ は中心が原点で半径5の円である。$C_2$ は中心が $(10,~0)$ で半径10の円である。中心間の距離を $d$ とすると，$d=10$ であるから

\begin{align*}
(半径の差)<d<(半径の和) \end{align*}

が成り立つ。よって，2つの円は2点で交わる。 2つの円の位置関係が分かったことによって，共通接線は2本存在することが分かる。上で書いた5つの方法で，共通接線を求めることにする。

【解法1】一方の円周上の点における接線が他方の円に接するときを考える

ヒロ

円周上の点における接線の公式を忘れている場合は，次の記事から確認しよう。

【数学ⅡB】円周上の点における接線【神奈川工科大・立教大・法政大】

ここでは円周上の点における接線の方程式について説明します。円の接線の方程式の公式を丸暗記することも重要ですが，その成り立ちを理解することで，円の接線に関する性質を再認識する気がします。円周上の点における接線ヒロ原点を中心とする円周上...

ヒロ

また，直線と円が接するときの考え方は，次の記事を参考にしよう。

【数学ⅡB】円と直線の位置関係【北海学園大・久留米大】

ここでは円と直線の位置関係について説明します。円と直線の位置関係は3つのパターンに分けられますが，与えられた円と直線の方程式からその位置関係を判断できるようになりましょう。円と直線の位置関係ヒロ円と直線の位置関係は，次の3パターンに...

$C_1$ 上の点 $(p,~q)$ における接線の方程式は

\begin{align*}
px+qy=25~\cdots\cdots①
\end{align*}

である。ただし，$p^2+q^2=25~\cdots\cdots②$ とする。

直線①が $C_2$ と接するとき，直線①と点 $(10,~0)$ との距離が10であるから

\begin{align*}
&\dfrac{\abs{10p-25}}{\sqrt{p^2+q^2}}=10 \\[4pt]
&\abs{2p-5}=10~~(\because ②) \\[4pt]
&2p-5=\pm10 \\[4pt]
&p=\dfrac{15}{2},~-\dfrac{5}{2}
\end{align*}

②より，$-5\leqq p\leqq5$ であるから，$p=-\dfrac{5}{2}$
このとき②より

\begin{align*}
&q^2=25-\dfrac{25}{4}=\dfrac{75}{4} \\[4pt]
&q=\pm\dfrac{5\sqrt{3}}{2}
\end{align*}

①より，求める接線の方程式は

\begin{align*}
&-\dfrac{5}{2}x\pm\dfrac{5\sqrt{3}}{2}y=25 \\[4pt]
&-x\pm\sqrt{3}y=10 \\[4pt]
&x\pm\sqrt{3}y+10=0
\end{align*}

ヒロ

直線③と円 $C_2$ が接するときを考えるときに，上の解答では，点と直線の距離を利用したが，2次方程式の判別式を利用する方法もある。

ヒロ

具体的には次のようになる。

$C_1$ 上の点 $(p,~q)$ における接線の方程式は

\begin{align*}
px+qy=25
\end{align*}

である。ここで，求める接線は $y$ 軸と平行ではないから $q\neq0$ であり，

\begin{align*}
y=\dfrac{25-px}{q}~\cdots\cdots①
\end{align*}

と変形できる。ただし，$p^2+q^2=25~\cdots\cdots②$ とする。
①を $C_2$ の方程式に代入すると

\begin{align*}
&(x-10)^2+\left(\dfrac{25-px}{q}\right)^2=100 \\[4pt]
&q^2(x^2-20x+100)+(p^2x^2-50px+625)=100q^2 \\[4pt]
&(p^2+q^2)x^2+(-50p-20q^2)x+625=0 \\[4pt]
&25x^2-5(10p+4q^2)x+625=0~~(\because ②) \\[4pt]
&5x^2-2(5p+2q^2)+125=0~\cdots\cdots④
\end{align*}

直線①と円 $C_2$ が接するのは，2次方程式④が重解をもつときである。判別式を $D$ とすると

\begin{align*}
&D/4=(5p+2q^2)^2-625=0 \\[4pt]
&5p+2q^2=\pm25 \\[4pt]
&5p+2(25-p^2)=\pm25 \\[4pt]
&2p^2-5p-25=0~~または~~2p^2-5p-75=0
\end{align*}

$2p^2-5p-25=0$ を解くと

\begin{align*}
&(p-5)(2p+5)=0 \\[4pt]
&p=5,~-\dfrac{5}{2}
\end{align*}

$2p^2-5p-75=0$ を解くと

\begin{align*}
&(p+5)(2p-15)=0 \\[4pt]
&p=-5,~\dfrac{15}{2}
\end{align*}

$q\neq0$ であるから，$q^2>0$ であり，②より

\begin{align*} &25-p^2>0 \\[4pt] &-5<p<5 \end{align*}

これを満たす $p$ は，$p=-\dfrac{5}{2}$

このとき，②より，$q=\pm\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

以上より，求める接線の方程式は

\begin{align*} x\pm\sqrt{3}y+10=0 \end{align*}

ヒロ

直線と円が接する条件を判別式を利用して考えると面倒である。