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【数学ⅡB】2つの円の共通接線【岐阜聖徳学園大】

2つの円の共通接線数学IAIIB
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2つの円の共通接線の本数

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2つの円の共通接線の本数は,2つの円の位置関係によって変わることを知っておこう。

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具体的には,共有接線の本数は,次の5パターンに分けられる。

  • 離れているとき,4本
  • 外接するとき,3本
  • 2点で交わるとき,2本
  • 内接するとき,1本
  • 一方が他方の内部にあるとき,0本
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共通接線を細かく分類すると「共通外接線」と「共通内接線」に分けられる。

共通外接線と共通内接線2つの円の共通接線で,2つの円の中心が接線に関して同じ側にあるとき,その接線を共通外接線という。また,2つの円の中心が接線に関して反対側にあるとき,その接線を共通内接線という。
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こんなことを言われてもピンとこないので,図を見て納得しよう。

2つの円の位置関係に応じて,共通接線を図示する。赤い接線が共通外接線で,青い接線が共通内接線である。
【2つの円が離れている】
「2つの円が離れている」ときは,2つの円の共通接線は4本存在する。
2つの円が離れているときの共通接線
【2つの円が外接する】
「2つの円が外接する」ときは,2つの円の共通接線は3本存在する。
2つの円が外接しているときの共通接線
【2つの円が2点で交わる】
「2つの円が2点で交わる」とき,2つの円の共通接線は2本存在する。
2つの円が2点で交わっているときの共通接線
【2つの円が内接する】
「2つの円が内接する」とき,2つの円の共通接線は1本だけ存在する。
2つの円が内接しているときの共通接線
【一方が他方の内部にある】
「一方が他方の内部にある」とき,一方の円が他方の円の内側にあり,共通接線は存在しない。
一方の円が他方の円の内部にあるときは共通接線は存在しない

2つの円の共通接線を求める方法

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2つの円 $C_1,~C_2$ の共通接線の方程式を求める方法として,複数の考え方が存在する。

共通接線を求める方法
  1. 一方の円周上の点における接線が他方の円と接するときを考える。
  2. 図形の性質を利用する。
  3. 共通接線が通る定点を最初に求める。
  4. 2つの円の接線が一致するときを考える。
  5. 直線 $y=mx+n$ が2つの円と接するときを考える。
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問題に応じて,考え方を変えられるようになると,誘導が付いた問題にも瞬時に対応できるはず。

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