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【数学ⅡB】2つの円の交点を通る円【武蔵大・島根大】

2つの円の交点を通る円数学IAIIB
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ここでは2つの円の交点を通る円について説明します。

円と直線の交点を通る直線や円の方程式を求める方法を理解していれば,この記事に書かれている内容も簡単に理解できるでしょう。

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2つの円の交点を通る円

ヒロ
ヒロ

2つの円の共有点を通る円の方程式の公式を書くと次のようになる。

2つの円の共有点を通る円2つの円
\begin{align*}
&x^2+y^2+lx+mx+n=0~\cdots\cdots① \\[4pt]
&x^2+y^2+px+qx+r=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
が共有点をもつとき,その共有点をすべて通る円の方程式は
\begin{align*}
p(x^2+y^2+lx+mx+n)+q(x^2+y^2+px+qx+r)=0~\cdots\cdots③
\end{align*}
と表される。$p=0$ のときは③は②と一致し,$q=0$ のときは③は①と一致する。どちらか一方と一致しなくても良い場合は,①と②の共有点を通る円の方程式を
\begin{align*}
p(x^2+y^2+lx+mx+n)+(x^2+y^2+px+qx+r)=0
\end{align*}
とおいても良い。$p$ と $q$ のどちらを残すかは自由なので
\begin{align*}
(x^2+y^2+lx+mx+n)+q(x^2+y^2+px+qx+r)=0
\end{align*}
とおいても良い。
2つの円の交点を通る円
ヒロ
ヒロ

2つの円の交点を通る直線を利用する方法も考えられる。

2つの円の共有点を通る円Ⅱ2つの円
\begin{align*}
&x^2+y^2+lx+mx+n=0~\cdots\cdots① \\[4pt]
&x^2+y^2+px+qx+r=0~\cdots\cdots②
\end{align*}
が共有点をもつとき,その共有点をすべて通る直線の方程式は,$①-②$ を計算することで得られて
\begin{align*}
(l-p)x+(m-q)y+n-r=0~\cdots\cdots③
\end{align*}
となる。「①かつ②」は「①かつ③」であるから,2つの円の共有点を通る円は,円①と直線③の共有点を通る円でもあるから
\begin{align*}
s(x^2+y^2+lx+mx+n)+t\{(l-p)x+(m-q)y+n-r\}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}
と表される。$s=0$ のときは④は③と一致し,$t=0$ のときは④は①と一致する。どちらか一方と一致しなくても良い場合は,①と②の共有点を通る円の方程式を
\begin{align*}
s(x^2+y^2+lx+mx+n)+(l-p)x+(m-q)y+n-r=0
\end{align*}
とおいても良い。$s$ と $t$ のどちらを残すかは自由なので
\begin{align*}
(x^2+y^2+lx+mx+n)+t\{(l-p)x+(m-q)y+n-r\}=0
\end{align*}
とおいても良い。

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