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$a_{n+1}=pa_n+qn+r~(p\neq1)$ 型の漸化式の解法
ヒロ
それでは解法をまとめておこう。
ヒロ
一般的に，漸化式パターン3の $f(n)$ が1次式で表される漸化式の解法は次の手順に従おう。
解法1
- $a_{n+1}-a_n=b_n$ とおいて，$b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。
- パターン2の $b_{n+1}=pb_n+q$ となるから，これを解いて $b_n$ を求める。
- 階差型の漸化式 $a_{n+1}-a_n=b_n$ を解いて，一般項 $a_n$ を求める。
解法2
- $a_n+\alpha n+\beta=b_n$ とおいて，$b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。
- 定数項が0になるような $\alpha,\beta$ を求める。
- $b_{n+1}=pb_n$ となるから，$b_n$ を求める。
- $a_n=b_n-\alpha n-\beta$ を用いて $a_n$ を求める。
解法3
- となる $\alpha,\beta$ を求める。
- 数列 $\{a_n+\alpha n+\beta\}$ が等比数列になることを利用して，一般項 $a_n$ を求める。