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2016年 センター試験 数学ⅡB 第3問 数列

2016年 センター数学ⅡB 数列数学IAIIB
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2016年センター試験 数学ⅡB 第3問数列の解説をします。

群数列が苦手な人はしっかり対策しておこう。

2016年 センターⅡB 数列真分数を分母の小さい順に,分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列
\begin{align*}
\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{4},~\dfrac{2}{4},~\dfrac{3}{4},~\dfrac{1}{5},~\cdots
\end{align*}
を $\{a_n\}$ とする。真分数とは,分子と分母がともに自然数で,分子が分母より小さい分数のことであり,上の数列では,約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は,解答上の注意にあるように,それ以上約分できない形で答えよ。
(1) $a_{15}=\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。また,分母に初めて8が現れる項は,$a_{\myBox{ウエ}}$ である。
(2) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ において,$\dfrac{1}{k}$ が初めて現れる項を第 $M_k$ 項とし,$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れる項を第 $N_k$ 項とすると
\begin{align*}
&M_k=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}~k^2-\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}~k+\myBox{ケ} \\[4pt]
&N_k=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}~k^2-\dfrac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}~k
\end{align*}
である。よって,$a_{104}=\dfrac{\myBox{セソ}}{\myBox{タチ}}$ である。
(3) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ の第 $M_k$ 項から第 $N_k$ 項までの和は,$\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}}~k-\dfrac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}$ である。したがって,数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $N_k$ 項までの和は
\begin{align*}
\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}~k^2-\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}~k
\end{align*}
である。よって
\begin{align*}
\Sum{n=1}{103}a_n=\dfrac{\myBox{ハヒフ}}{\myBox{ヘホ}}
\end{align*}
である。
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

第15項を求める問題。

ヒロ
ヒロ

分母が変わるところで区切って群数列の問題として捉えよう。

ヒロ
ヒロ

ただ,たった15項なので,実際に書き並べてどうなるかを把握することも重要。

【アイの解答】
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}~\Bigl|~\dfrac{1}{3},~\dfrac{2}{3}~\Bigl|~\dfrac{1}{4},~\dfrac{2}{4},~\dfrac{3}{4}~\Bigl|~\dfrac{1}{5},~\cdots
\end{align*}
第 $k$ 群の項数は $k$ であり,最初の数は $\dfrac{1}{k+1}$,最後の数は $\dfrac{k}{k+1}$ である。
\begin{align*}
15=1+2+3+4+5
\end{align*}
であるから,第15項は第5群の最後の数である。よって
\begin{align*}
a_{15}=\dfrac{5}{6}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

上に書いたように,第 $k$ 群に含まれる項数・最初の項・最後の項をまとめておくと良い。

ヒロ
ヒロ

次は分母が初めて8になる項を求める問題。

【ウエの解答】
分母に初めて8が現れる項は,第7群の最初の数であるから,
\begin{align*}
1+2+3+4+5+6+1=22
\end{align*}
より,$a_{22}$ である。

(2)の解答

(2) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ において,$\dfrac{1}{k}$ が初めて現れる項を第 $M_k$ 項とし,$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れる項を第 $N_k$ 項とすると

\begin{align*}
&M_k=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}~k^2-\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}~k+\myBox{ケ} \\[4pt]
&N_k=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}~k^2-\dfrac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}~k
\end{align*}
である。よって,$a_{104}=\dfrac{\myBox{セソ}}{\myBox{タチ}}$ である。

ヒロ
ヒロ

(1)で $\dfrac{1}{k+1}$ が初めて現れるのは,第 $k$ 群の最初の項だと分かっていることを考えよう。

【オ~ケの解答】
$\dfrac{1}{k}$ が初めて現れるのは,第 $k-1$ 群の最初の項だから
\begin{align*}
M_k&=\Sum{i=1}{k-2}i+1 \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}(k-2)(k-1)+1 \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{3}{2}k+2
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

同じように,$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れるのは,第 $k-1$ 群の最後の項だと分かっていることを考えよう。

【コ~スの解答】
$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れるのは,第 $k-1$ 群の最後の項だから
\begin{align*}
N_k&=\Sum{i=1}{k-1}i \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}(k-1)k \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{1}{2}k
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

104が $M_k$ と $N_k$ の間にあるような $k$ の値を求めよう。

【セ~チの解答】
$M_k\leqq104\leqq N_k$,すなわち
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{3}{2}k+2\leqq104\leqq\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{1}{2}k
\end{align*}
を満たす $k$ を求める。
ここでざっくり計算することが重要。つまり
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}k^2\fallingdotseq104
\end{align*}
となる $k$ を考える。
\begin{align*}
&k^2\fallingdotseq208 \\[4pt]
&k\fallingdotseq14,~15
\end{align*}
こういう計算をどれだけ速く行えるかがが重要。あとは $k$ に14や15を代入して確認しよう。ここで,計算過程を見れば本来の値より小さい値になることが分かるため,15から先に代入しても良い。瞬時に判断できなければ,さっさと14から代入しよう。合わなかったら調整すれば良いだけ。
\begin{align*}
M_{14}&=\dfrac{1}{2}\Cdota12\Cdota13+1 \\[4pt]
&=79~(小さすぎる) \\[4pt]
M_{15}&=\dfrac{1}{2}\Cdota13\Cdota14+1 \\[4pt]
&=92 \\[4pt]
N_{15}&=\dfrac{1}{2}\Cdota14\Cdota15 \\[4pt]
&=105
\end{align*}
第105項は $\dfrac{14}{15}$ であり,第104項はその1つ前の項であるから,$a_{104}=\dfrac{13}{15}$ となる。

(3)の解答

(3) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ の第 $M_k$ 項から第 $N_k$ 項までの和は,$\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}}~k-\dfrac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}$ である。したがって,数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $N_k$ 項までの和は

\begin{align*}
\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}~k^2-\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}~k
\end{align*}
である。よって
\begin{align*}
\Sum{n=1}{103}a_n=\dfrac{\myBox{ハヒフ}}{\myBox{ヘホ}}
\end{align*}
である。

ヒロ
ヒロ

第 $M_k$ 項から第 $N_k$ 項までは,分母は $k$ で変わらないから,分子の和を求めることができれば大丈夫だね。

【ツ~ナの解答】
求める和は
\begin{align*}
&\dfrac{1}{k}+\dfrac{2}{k}+\cdots+\dfrac{k-1}{k} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2k}(k-1)k \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}k-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

今求めたのは分母が $k$ である項の和ということを考えよう。

【ニ~ノの解答】
分母が $i$ である項の和は
\begin{align*}
\dfrac{1}{2}i-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
であるから,初項から第 $N_k$ 項までの和は,
\begin{align*}
&\Sum{i=2}{k}\left(\dfrac{1}{2}i-\dfrac{1}{2}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{1+(k-1)}{2}\Cdota(k-1) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}k(k-1) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}k^2-\dfrac{1}{4}k
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$N_{15}=105$ だから,初項から第105項までの和を求めて余分な項を引こう。

【ハ~ホの解答】
\begin{align*}
\Sum{n=1}{103}a_n&=\Sum{n=1}{105}a_n-a_{104}-a_{105} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}\Cdota15\Cdota14-\dfrac{13}{15}-\dfrac{14}{15} \\[4pt]
&=\dfrac{105}{2}-\dfrac{9}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{507}{10}
\end{align*}

2016年センター数学ⅡB 数列を解いた感想

ヒロ
ヒロ

通常は,第 $k$ 群の最初の項や最後の項を文字で置いて考えることが多い。しかし,2016年の問題では,分母が $k$ になる最初の項と最後の項を文字で置いている。

ヒロ
ヒロ

これによって,通常とはずれた状態で最初の項と最後の項を文字で置いているため考えにくいだろう。

ヒロ
ヒロ

したがって,それらの項が第 $k$ 群に含まれると勘違いしてしまうと,色々な箇所で計算が合わず,多くの時間を無駄にしてしまうことになる。

ヒロ
ヒロ

問題で設定されている文字の意味をしっかりと読んで理解することが大切。

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