2016年センター試験 数学ⅡB 第3問数列の解説をします。
群数列が苦手な人はしっかり対策しておこう。
\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{3},~\dfrac{2}{3},~\dfrac{1}{4},~\dfrac{2}{4},~\dfrac{3}{4},~\dfrac{1}{5},~\cdots
\end{align*}
(1) $a_{15}=\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。また，分母に初めて8が現れる項は，$a_{\myBox{ウエ}}$ である。
(2) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ において，$\dfrac{1}{k}$ が初めて現れる項を第 $M_k$ 項とし，$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れる項を第 $N_k$ 項とすると
&M_k=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}~k^2-\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}~k+\myBox{ケ} \\[4pt]
&N_k=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}~k^2-\dfrac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}~k
\end{align*}
(3) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ の第 $M_k$ 項から第 $N_k$ 項までの和は，$\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}}~k-\dfrac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}$ である。したがって，数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $N_k$ 項までの和は
\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}~k^2-\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}~k
\end{align*}
\Sum{n=1}{103}a_n=\dfrac{\myBox{ハヒフ}}{\myBox{ヘホ}}
\end{align*}
(1)の解答
第15項を求める問題。
分母が変わるところで区切って群数列の問題として捉えよう。
ただ，たった15項なので，実際に書き並べてどうなるかを把握することも重要。
\dfrac{1}{2}~\Bigl|~\dfrac{1}{3},~\dfrac{2}{3}~\Bigl|~\dfrac{1}{4},~\dfrac{2}{4},~\dfrac{3}{4}~\Bigl|~\dfrac{1}{5},~\cdots
\end{align*}
15=1+2+3+4+5
\end{align*}
a_{15}=\dfrac{5}{6}
\end{align*}
上に書いたように，第 $k$ 群に含まれる項数・最初の項・最後の項をまとめておくと良い。
次は分母が初めて8になる項を求める問題。
分母に初めて8が現れる項は，第7群の最初の数であるから，
1+2+3+4+5+6+1=22
\end{align*}
(2)の解答
(2) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ において，$\dfrac{1}{k}$ が初めて現れる項を第 $M_k$ 項とし，$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れる項を第 $N_k$ 項とすると
\begin{align*}である。よって，$a_{104}=\dfrac{\myBox{セソ}}{\myBox{タチ}}$ である。
&M_k=\dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}~k^2-\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}~k+\myBox{ケ} \\[4pt]
&N_k=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}~k^2-\dfrac{\myBox{シ}}{\myBox{ス}}~k
\end{align*}
(1)で $\dfrac{1}{k+1}$ が初めて現れるのは，第 $k$ 群の最初の項だと分かっていることを考えよう。
$\dfrac{1}{k}$ が初めて現れるのは，第 $k-1$ 群の最初の項だから
M_k&=\Sum{i=1}{k-2}i+1 \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}(k-2)(k-1)+1 \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{3}{2}k+2
\end{align*}
同じように，$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れるのは，第 $k-1$ 群の最後の項だと分かっていることを考えよう。
$\dfrac{k-1}{k}$ が初めて現れるのは，第 $k-1$ 群の最後の項だから
N_k&=\Sum{i=1}{k-1}i \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}(k-1)k \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{1}{2}k
\end{align*}
104が $M_k$ と $N_k$ の間にあるような $k$ の値を求めよう。
$M_k\leqq104\leqq N_k$，すなわち
\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{3}{2}k+2\leqq104\leqq\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{1}{2}k
\end{align*}
ここでざっくり計算することが重要。つまり
\dfrac{1}{2}k^2\fallingdotseq104
\end{align*}
&k^2\fallingdotseq208 \\[4pt]
&k\fallingdotseq14,~15
\end{align*}
M_{14}&=\dfrac{1}{2}\Cdota12\Cdota13+1 \\[4pt]
&=79~(小さすぎる) \\[4pt]
M_{15}&=\dfrac{1}{2}\Cdota13\Cdota14+1 \\[4pt]
&=92 \\[4pt]
N_{15}&=\dfrac{1}{2}\Cdota14\Cdota15 \\[4pt]
&=105
\end{align*}
(3)の解答
(3) $k$ を2以上の自然数とする。数列 $\{a_n\}$ の第 $M_k$ 項から第 $N_k$ 項までの和は，$\dfrac{\myBox{ツ}}{\myBox{テ}}~k-\dfrac{\myBox{ト}}{\myBox{ナ}}$ である。したがって，数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $N_k$ 項までの和は
\begin{align*}である。よって
\dfrac{\myBox{ニ}}{\myBox{ヌ}}~k^2-\dfrac{\myBox{ネ}}{\myBox{ノ}}~k
\end{align*}\begin{align*}である。
\Sum{n=1}{103}a_n=\dfrac{\myBox{ハヒフ}}{\myBox{ヘホ}}
\end{align*}
第 $M_k$ 項から第 $N_k$ 項までは，分母は $k$ で変わらないから，分子の和を求めることができれば大丈夫だね。
求める和は
&\dfrac{1}{k}+\dfrac{2}{k}+\cdots+\dfrac{k-1}{k} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2k}(k-1)k \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}k-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
今求めたのは分母が $k$ である項の和ということを考えよう。
分母が $i$ である項の和は
\dfrac{1}{2}i-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
&\Sum{i=2}{k}\left(\dfrac{1}{2}i-\dfrac{1}{2}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{1+(k-1)}{2}\Cdota(k-1) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}k(k-1) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}k^2-\dfrac{1}{4}k
\end{align*}
$N_{15}=105$ だから，初項から第105項までの和を求めて余分な項を引こう。
\Sum{n=1}{103}a_n&=\Sum{n=1}{105}a_n-a_{104}-a_{105} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}\Cdota15\Cdota14-\dfrac{13}{15}-\dfrac{14}{15} \\[4pt]
&=\dfrac{105}{2}-\dfrac{9}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{507}{10}
\end{align*}
2016年センター数学ⅡB 数列を解いた感想
通常は，第 $k$ 群の最初の項や最後の項を文字で置いて考えることが多い。しかし，2016年の問題では，分母が $k$ になる最初の項と最後の項を文字で置いている。
これによって，通常とはずれた状態で最初の項と最後の項を文字で置いているため考えにくいだろう。
したがって，それらの項が第 $k$ 群に含まれると勘違いしてしまうと，色々な箇所で計算が合わず，多くの時間を無駄にしてしまうことになる。
問題で設定されている文字の意味をしっかりと読んで理解することが大切。
