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階差数列を考えることによって定数項を消す
その1
ヒロ
この漸化式で困る部分 $n$ を消すことを考えよう。ここで重要なのは次のポイントだ。
ヒロ
例えば，数列 $\{a_n\}$ の一般項が $a_n=pn+q$ と表されるとき，数列 $\{a_n\}$ は等差数列で公差は $p$ ということ。
ヒロ
$n$ を1つずらして引くと，$p(n+1)+q-(pn+q)=p$ となり，$n$ の係数になるが，$n$ の1次式では，計算しなくても $n$ を1つずらして引くと $n$ の係数が得られることを常識にできると良いだろう。
$a_{n+1}=2a_n+n$ より，$a_{n+2}=2a_{n+1}+n+1$ となるから辺々を引くと
\begin{align*}
a_{n+2}-a_{n+1}&=2(a_{n+1}-a_n)+1
\end{align*}
$a_{n+1}-a_n=b_n$ とおくとa_{n+2}-a_{n+1}&=2(a_{n+1}-a_n)+1
\end{align*}
\begin{align*}
b_{n+1}=2b_n+1
\end{align*}
b_{n+1}=2b_n+1
\end{align*}
ヒロ
このように，$n$ を1つずらして引くことで，パターン2に変形することができる。
ヒロ
あとは $b_1$ さえ分かれば，$b_n$ も求められるね。
特性方程式 $c=2c+1$ を解いて，$c=-1$
$b_{n+1}=2b_n+1$ より，
よって，$b_1=a_2-a_1=3-1=2$
したがって，$b_n=3\Cdot2^{n-1}-1$
\begin{align*}
&b_{n+1}+1=2(b_n+1)
\end{align*}
数列 $\{b_n+1\}$ は公比2の等比数列となるから，&b_{n+1}+1=2(b_n+1)
\end{align*}
\begin{align*}
&b_n+1=(b_1+1)\Cdota2^{n-1} \\[4pt]
&b_n=(b_1+1)\Cdota2^{n-1}-1
\end{align*}
ここで，$a_1=1$ だから $a_2=2a_1+1=3$&b_n+1=(b_1+1)\Cdota2^{n-1} \\[4pt]
&b_n=(b_1+1)\Cdota2^{n-1}-1
\end{align*}
よって，$b_1=a_2-a_1=3-1=2$
したがって，$b_n=3\Cdot2^{n-1}-1$
ヒロ
あとは階差型の漸化式 $a_{n+1}-a_n=b_n$ を解くだけだね。
「解くだけ」って・・・長いですね・・・
数列 $\{a_n\}$ の階差数列の一般項が $b_n$ だから，$n\geqq2$ のとき
\begin{align*}
a_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]
&=1+\Sum{k=1}{n-1}(3\Cdota2^{k-1}-1) \\[4pt]
&=1+\dfrac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}-(n-1) \\[4pt]
&=3\Cdota2^{n-1}-n-1
\end{align*}
これは $n=1$ のときも成り立つ。a_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]
&=1+\Sum{k=1}{n-1}(3\Cdota2^{k-1}-1) \\[4pt]
&=1+\dfrac{3(2^{n-1}-1)}{2-1}-(n-1) \\[4pt]
&=3\Cdota2^{n-1}-n-1
\end{align*}
ヒロ
この解法は確かに少し面倒かもしれない。しかし，誘導がある問題では，この解法で解けという指定されることもあるため，いつでも対応できるようにしておこう。
その2
ヒロ
実は階差数列を考える方法に，もう1つの方法がある。
ヒロ
さっきは $n$ を1つ増やしたけど，減らす方法もある。そして，これで誘導されたときに訳が分からなくなる人もいるので，説明しておくよ。
$a_{n+1}=2a_n+n$ より，$n\geqq2$ のとき，$a_{n}=2a_{n-1}+n-1$ となるから辺々を引くと
\begin{align*}
a_{n+1}-a_n&=2(a_n-a_{n-1})+1
\end{align*}
$a_{n+1}-a_n=b_n$ とおくとa_{n+1}-a_n&=2(a_n-a_{n-1})+1
\end{align*}
\begin{align*}
b_n=2b_{n-1}+1
\end{align*}
これを変形してb_n=2b_{n-1}+1
\end{align*}
\begin{align*}
&b_n+1=2(b_{n-1}+1)
\end{align*}
&b_n+1=2(b_{n-1}+1)
\end{align*}
ヒロ
$n\geqq2$ という条件と慣れない見た目から初項が分からなくなったり，勘違いする人がいる。この形の漸化式を苦手に感じる人のために，少し丁寧に説明しておくよ。
式を見やすくするために，$b_n+1=c_n$ とおくと
続いて，$n=3,4,\cdots$ のときを考えると
\begin{align*}
c_n=2c_{n-1}
\end{align*}
この漸化式が $n$ が2以上で成り立つから，まずは $n=2$ のときを考えるとc_n=2c_{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
c_2=2c_1
\end{align*}
となり，$c_1$ が現れる。c_2=2c_1
\end{align*}
続いて，$n=3,4,\cdots$ のときを考えると
\begin{align*}
c_3=2c_2,~c_4=2c_3,~\cdots
\end{align*}
となる。結局は，数列 $\{c_n\}$ は初項 $c_1$，公比2の等比数列となるからc_3=2c_2,~c_4=2c_3,~\cdots
\end{align*}
\begin{align*}
c_n=c_1\Cdota2^{n-1}
\end{align*}
と表せる。$b_n+1=c_n$ よりc_n=c_1\Cdota2^{n-1}
\end{align*}
\begin{align*}
&b_n+1=(b_1+1)\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&b_n=3\Cdota2^{n-1}-1
\end{align*}
&b_n+1=(b_1+1)\Cdota2^{n-1} \\[4pt]&b_n=3\Cdota2^{n-1}-1
\end{align*}
ヒロ
あとは上と同じだね。