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漸化式パターン3の練習
ヒロ
それでは練習しておこう。
2017年 明治大次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ がある。
\begin{align*}
a_1=1,a_{n+1}=3a_n+2n+1
\end{align*}
階差数列の一般項を利用して，数列 $\{a_n\}$ の一般項を $n\geqq2$ の場合について求めるとa_1=1,a_{n+1}=3a_n+2n+1
\end{align*}
\begin{align*}
a_n=\myhako^{\,n}-n-\myhako
\end{align*}
である。a_n=\myhako^{\,n}-n-\myhako
\end{align*}
ヒロ
「階差数列の一般項を利用して」とあるから方針を忘れてても思い出せる可能性があるね。忘れないのが大切だけど。
$a_{n+1}=3a_n+2n+1$ より，$a_{n+2}=3a_{n+1}+2(n+1)+1$ となるから辺々を引くと
\begin{align*}
&a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n)+2
\end{align*}
$a_{n+1}-a_n=b_n$ とおくと&a_{n+2}-a_{n+1}=3(a_{n+1}-a_n)+2
\end{align*}
\begin{align*}
&b_{n+1}=3b_n+2 \\[4pt]&b_{n+1}+1=3(b_n+1)
\end{align*}
ここで，$a_1=1$ であり $a_2=3a_1+3=6$ だから&b_{n+1}=3b_n+2 \\[4pt]&b_{n+1}+1=3(b_n+1)
\end{align*}
\begin{align*}
b_1=a_2-a_1=6-1=5
\end{align*}
数列 $\{b_n+1\}$ は公比3の等比数列だからb_1=a_2-a_1=6-1=5
\end{align*}
\begin{align*}
&b_n+1=(b_1+1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]&b_n=6\Cdota3^{n-1}-1
\end{align*}
$a_{n+1}-a_n=b_n$ だから，$n\geqq2$ のとき&b_n+1=(b_1+1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]&b_n=6\Cdota3^{n-1}-1
\end{align*}
\begin{align*}
a_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]&=1+\Sum{k=1}{n-1}(6\Cdota3^{k-1}-1) \\[4pt]&=1+\dfrac{6(3^{n-1}-1)}{3-1}-(n-1) \\[4pt]&=1+3(3^{n-1}-1)-n+1 \\[4pt]&=3^n-n-1
\end{align*}
a_n&=a_1+\Sum{k=1}{n-1}b_k \\[4pt]&=1+\Sum{k=1}{n-1}(6\Cdota3^{k-1}-1) \\[4pt]&=1+\dfrac{6(3^{n-1}-1)}{3-1}-(n-1) \\[4pt]&=1+3(3^{n-1}-1)-n+1 \\[4pt]&=3^n-n-1
\end{align*}
ヒロ
「$n\geqq2$ の場合について」とあるから，答えはこれでいいけど，実は $n=1$ のときも成り立つ。
練習問題の別解
ヒロ
階差数列の一般項を利用する解法が面倒だと感じる人は，等比型に変形する解法で解いても良い。
$a_n+\alpha n+\beta=b_n$ とおくと，$a_{n+1}=3a_n+2n+1$ より
$b_{n+1}=3b_n$ となる。数列 $\{b_n\}$ は初項3，公比3の等比数列だから，
\begin{align*}
&b_{n+1}-\alpha(n+1)-\beta=3(b_n-\alpha n-\beta)+2n+1 \\[4pt]&b_{n+1}=3b_n+(-2\alpha+2)n+\alpha-2\beta+1
\end{align*}
数列 $\{b_n\}$ が等比数列になるときは&b_{n+1}-\alpha(n+1)-\beta=3(b_n-\alpha n-\beta)+2n+1 \\[4pt]&b_{n+1}=3b_n+(-2\alpha+2)n+\alpha-2\beta+1
\end{align*}
\begin{align*}
(-2\alpha+2)n+\alpha-2\beta+1=0
\end{align*}
となるときであるから(-2\alpha+2)n+\alpha-2\beta+1=0
\end{align*}
\begin{align*}
&\begin{cases}
-2\alpha+2=0 \\[4pt]\alpha-2\beta+1=0
\end{cases} \\[4pt]&\therefore \alpha=1,\beta=1
\end{align*}
$a_n+n+1=b_n$ とおくと，$b_1=a_1+2=3$ であり，&\begin{cases}
-2\alpha+2=0 \\[4pt]\alpha-2\beta+1=0
\end{cases} \\[4pt]&\therefore \alpha=1,\beta=1
\end{align*}
$b_{n+1}=3b_n$ となる。数列 $\{b_n\}$ は初項3，公比3の等比数列だから，
\begin{align*}
b_n=3\Cdota3^{n-1}=3^n
\end{align*}
よって，$a_n=3^n-n-1$b_n=3\Cdota3^{n-1}=3^n
\end{align*}
練習問題の別解2
\begin{align*}
a_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=3(a_n+\alpha n+\beta)
\end{align*}
と変形できたとする。これを展開・整理するとa_{n+1}+\alpha(n+1)+\beta=3(a_n+\alpha n+\beta)
\end{align*}
\begin{align*}
a_{n+1}=3a_n+2\alpha n-\alpha+2\beta
\end{align*}
となる。これが元の漸化式と一致するのはa_{n+1}=3a_n+2\alpha n-\alpha+2\beta
\end{align*}
\begin{align*}
2\alpha=2~~かつ~~-\alpha+2\beta=1
\end{align*}
を満たすとき，すなわち2\alpha=2~~かつ~~-\alpha+2\beta=1
\end{align*}
\begin{align*}
\alpha=1,~\beta=1
\end{align*}
のときである。\alpha=1,~\beta=1
\end{align*}
このとき
\begin{align*}
a_{n+1}+(n+1)+1=3(a_n+n+1)
\end{align*}
となるから，数列 $\{a_n+n+1\}$ は公比3の等比数列となる。$a_1+1+1=3$ よりa_{n+1}+(n+1)+1=3(a_n+n+1)
\end{align*}
\begin{align*}
&a_n+n+1=(a_1+1+1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]&a_n=3^n-n-1
\end{align*}
&a_n+n+1=(a_1+1+1)\Cdota3^{n-1} \\[4pt]&a_n=3^n-n-1
\end{align*}
とにかく答えだけを求めたいとき
ヒロ
穴埋めなので，答えだけを最速で求めたい人は次のポイントを利用するのが効率的。
漸化式パターン3（1次式）の一般解
$a_{n+1}=pa_n+qn+r$$(p\neq1)$ 型の漸化式の一般項は
\begin{align*}
a_n=\alpha\Cdota p^{n-1}+\beta n+\gamma
\end{align*}
と表される。
a_n=\alpha\Cdota p^{n-1}+\beta n+\gamma
\end{align*}
ヒロ
未知数は $\alpha,\beta,\gamma$ の3つなので，適当な3つの項から求めよう。
ヒロ
練習問題の場合，空欄の形から $a_n=3^n-n-\myhako$ と表せることが分かる。こうなると項は3つも必要なく，初項の $a_1=1$ だけで空欄を特定することができる。
$n=1$ のときを考えて
\begin{align*}
&a_1=3-1-\myhako \\[4pt]&1=2-\myhako \\[4pt]&\myhako=1
\end{align*}
よって，$a_n=3^n-n-1$&a_1=3-1-\myhako \\[4pt]&1=2-\myhako \\[4pt]&\myhako=1
\end{align*}
まとめ
ヒロ
漸化式パターン3の $f(n)$ が $n$ の1次式で表される漸化式は，誘導なしで出題されることも多いため，解法をしっかり身に付けよう。複数の解法を身に付けるのは，誘導の意味を理解するためで，様々なタイプの問題に対応できるようにしよう。
ヒロ
他のタイプについてもマスターできるようにしよう。
