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二項定理を利用する不等式の証明問題2【津田塾大】
2015年 津田塾大$n$ を自然数とするとき，不等式 $3^n>n^2$ を示せ。
ヒロ
誰からも教えられずに，最初に解いたような問題を解いたこともなく，この問題を初めて見て，すぐに「こんなの二項定理使えば良いでしょ」と言える人は凄い人だなぁと思う。
【考え方と解答】
$n\geqq2$ のとき
したがって，$n$ が自然数のとき，$3^n>n^2$ が成り立つ。
$n\geqq2$ のとき
\begin{align*}
3^n&=(1+2)^n \\[4pt]&=\nCk{n}{0}+\nCk{n}{1}\Cdota2+\nCk{n}{2}\Cdota2^2+\cdots+\nCk{n}{n}\Cdota2^n \\[4pt]&\geqq1+2n+\dfrac{n(n-1)}{2}\Cdota2^2 \\[4pt]&=2n^2+1>n^2
\end{align*}
$n=1$ のとき，左辺は3で右辺は1だから $3^n>n^2$ が成り立つ。3^n&=(1+2)^n \\[4pt]&=\nCk{n}{0}+\nCk{n}{1}\Cdota2+\nCk{n}{2}\Cdota2^2+\cdots+\nCk{n}{n}\Cdota2^n \\[4pt]&\geqq1+2n+\dfrac{n(n-1)}{2}\Cdota2^2 \\[4pt]&=2n^2+1>n^2
\end{align*}
したがって，$n$ が自然数のとき，$3^n>n^2$ が成り立つ。