ここでは根号を含むnの式が自然数となる条件に関する問題ついて説明します。
n以外の数の素因数に着目して考えるのが基本となります。
そのためにも，倍数判定法も自由に使いこなせるようにしておくと良いでしょう。
nを含む式が自然数となる条件に関する問題
2019年 摂南大$\sqrt{168n}$ が整数になる最小の自然数 $n$ は $\myhako$ である。
ヒロ
根号を含む式が自然数になる条件を考えよう。
根号を含む式が自然数になる$n$ を自然数とし，$f(n)$ を $n$ の多項式とする。
$\sqrt{f(n)}$ が自然数になるのは，$f(n)$ が平方数になるときである。
$\sqrt{f(n)}$ が自然数になるのは，$f(n)$ が平方数になるときである。
【考え方と解答】
$\sqrt{168n}$ が整数になるのは $168n$ が平方数になるときである。
まずは168を素因数分解しよう。下二桁68が $68=4\times17$ で4の倍数だから168は4の倍数である。また，$1+6+8=15$ より各位の数の和が3の倍数だから，168は3の倍数である。よって，168は12の倍数である。
$\sqrt{168n}$ が整数になるのは $168n$ が平方数になるときである。
まずは168を素因数分解しよう。下二桁68が $68=4\times17$ で4の倍数だから168は4の倍数である。また，$1+6+8=15$ より各位の数の和が3の倍数だから，168は3の倍数である。よって，168は12の倍数である。
\begin{align*}
168&=12\times14 \\[4pt]
&=2^2\Cdota3\times2\Cdota7 \\[4pt]
&=2^3\Cdota3\Cdota7
\end{align*}
したがって，$168n$ が平方数になる最小の自然数 $n$ は168&=12\times14 \\[4pt]
&=2^2\Cdota3\times2\Cdota7 \\[4pt]
&=2^3\Cdota3\Cdota7
\end{align*}
\begin{align*}
n=2\Cdota3\Cdota7=42
\end{align*}
である。n=2\Cdota3\Cdota7=42
\end{align*}
nを含む式が自然数となる条件に関する問題2
問題$\dfrac{n^2}{40},~\dfrac{n^3}{81}$ がともに自然数となるような最小の自然数を求めよ。
ヒロ
分数式が整数となるための条件を整理しておこう。
分数式が整数となる条件$a,~b$ が自然数のとき，$\dfrac{a}{b}$ が整数となるのは $a$ が $b$ の倍数のときである。
【考え方と解答】
$\dfrac{n^2}{40},~\dfrac{n^3}{81}$ がともに自然数となるのは，$n^2$ が40の倍数で，$n^3$ が81の倍数のときである。40と81が含む素因数を調べるために素因数分解する。
①，②を満たす最小の自然数 $a,~b,~c$ は
$\dfrac{n^2}{40},~\dfrac{n^3}{81}$ がともに自然数となるのは，$n^2$ が40の倍数で，$n^3$ が81の倍数のときである。40と81が含む素因数を調べるために素因数分解する。
\begin{align*}
&40=2^3\Cdota5 \\[4pt]
&81=3^4
\end{align*}
40と81が含む素因数が2, 3, 5の3種類だから，自然数 $a,~b,~c$ を用いて $n=2^a\Cdot3^b\Cdot5^c$ とおいて，最小の自然数 $a,~b,~c$ を求めよう。&40=2^3\Cdota5 \\[4pt]
&81=3^4
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{n^2}{40}&=\dfrac{2^{2a}\Cdot3^{2b}\Cdot5^{2c}}{2^3\Cdot5} \\[4pt]
&=2^{2a-3}\Cdota3^{2b}\Cdota5^{2c-1} \\[4pt]
\end{align*}
$a,~b,~c$ が自然数であることを考えると，$\dfrac{n^2}{40}$ が自然数となるのは，\dfrac{n^2}{40}&=\dfrac{2^{2a}\Cdot3^{2b}\Cdot5^{2c}}{2^3\Cdot5} \\[4pt]
&=2^{2a-3}\Cdota3^{2b}\Cdota5^{2c-1} \\[4pt]
\end{align*}
\begin{align*}
2a-3\geqq0~\cdots\cdots①
\end{align*}
を満たすときである。2a-3\geqq0~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{n^3}{81}&=\dfrac{2^{3a}\Cdot3^{3b}\Cdot5^{3c}}{3^4} \\[4pt]
&=2^{3a}\Cdota3^{3b-4}\Cdota5^{3c}
\end{align*}
同様に $\dfrac{n^3}{81}$ が自然数となるのは，\dfrac{n^3}{81}&=\dfrac{2^{3a}\Cdot3^{3b}\Cdot5^{3c}}{3^4} \\[4pt]
&=2^{3a}\Cdota3^{3b-4}\Cdota5^{3c}
\end{align*}
\begin{align*}
3b-4\geqq0~\cdots\cdots②
\end{align*}
を満たすときである。3b-4\geqq0~\cdots\cdots②
\end{align*}
①，②を満たす最小の自然数 $a,~b,~c$ は
\begin{align*}
a=2,~b=2,~c=1
\end{align*}
よって，求める自然数 $n$ はa=2,~b=2,~c=1
\end{align*}
\begin{align*}
n=2^2\Cdota3^2\Cdota5^1=180
\end{align*}
n=2^2\Cdota3^2\Cdota5^1=180
\end{align*}