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【数学ⅡB】多項式の割り算【自治医科大・明治薬科大】

多項式の割り算(除法)数学IAIIB

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多項式の割り算

2020年 自治医科大整式 $4x^3-3x^2+2x-1$ を整式 $2x-1$ で割るとき,商が $ax^2+bx+c$,余りが $d$ となるとする。$a+b+c+d$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
次のように筆算で考えよう。
多項式の割り算を筆算で行う
まずは $4x^3\div2x$ を計算して,商の部分に $2x^2$ と書く。
多項式の割り算を筆算で行う
次に,$2x^2\times(2x-1)$ を計算して,割られる式の下に書いて,引き算をする。
多項式の割り算を筆算で行う
引き算で得られた式が2次式であり,割る式より次数が高いから,割り算を続ける。$-x^2\div2x$ を計算して,商の部分に $-\dfrac{1}{2}x$ を書く。
多項式の割り算を筆算で行う
$-\dfrac{1}{2}x\times(2x-1)$ を計算して,引き算をする。
多項式の割り算を筆算で行う
さらに続ける。 $\dfrac{3}{2}x\div2x$ を計算して,商の部分に $+\dfrac{3}{4}$ を書く。
多項式の割り算を筆算で行う
$\dfrac{3}{4}\times(2x-1)$ を計算して引き算をすると,$-\dfrac{1}{4}$ となる。
多項式の割り算を筆算で行う
これは割る式より次数が低い定数であるから,ここで割り算が終了する。
筆算の結果より,商は $2x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{4}$ であり,余りは $-\dfrac{1}{4}$ である。
よって,求める値は
\begin{align*}
a+b+c+d=2-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=2
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

割り算を真面目に行わなくても,次のように考えることで空欄を埋めることができる。

【別の考え方と解答】
割られる式,割る式,商,余りの関係より
\begin{align*}
4x^3-3x^2+2x-1=(2x-1)(ax^2+bx+c)+d
\end{align*}
が成り立つ。$x=1$ のとき,右辺は $a+b+c+d$ になるから,求める値は左辺に $x=1$ を代入したものである。
\begin{align*}
a+b+c+d=4-3+2-1=2
\end{align*}

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