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部分分数分解の仕組み
ヒロ
簡単な例を通じて，部分分数分解の基本的な考え方を身に付けよう。
【部分分数分解は通分の逆】
例として，$\dfrac{1}{6}$ を2つの分数の和（差）で表すことを考える。$6=2\times3$ であるから，$\dfrac{1}{6}$ を $\dfrac{1}{2}$ と $\dfrac{1}{3}$ で表すことを考える。また，分子の1は分母の2数 $2,~3$ を用いて $3-2$ と表すことができるから，引く順序を考えて
例として，$\dfrac{1}{6}$ を2つの分数の和（差）で表すことを考える。$6=2\times3$ であるから，$\dfrac{1}{6}$ を $\dfrac{1}{2}$ と $\dfrac{1}{3}$ で表すことを考える。また，分子の1は分母の2数 $2,~3$ を用いて $3-2$ と表すことができるから，引く順序を考えて
\begin{align*}
\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}
\end{align*}
と変形することができる。\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}
\end{align*}
ヒロ
別の例として $\dfrac{7}{12}$ を2つの分数の和（差）で表すことを考えてみよう。
【部分分数分解の別の例】
$12=3\times4$ であり，分子の7は $3+4$ であるから，
$12=3\times4$ であり，分子の7は $3+4$ であるから，
\begin{align*}
\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}
\end{align*}
と変形することができる。\dfrac{7}{12}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}
\end{align*}
ヒロ
1つの分数を2つの分数の和や差で表すことができれば，基本的な考えは身に付いたといえるだろう。
分数式の部分分数分解
ヒロ
それでは，文字を含む分数式を部分分数に分解する練習をしていこう。
問題次の式を部分分数分解せよ。
(1) $\dfrac{1}{x(x+1)}$
(2) $\dfrac{2x-1}{x(x-1)}$
(1) $\dfrac{1}{x(x+1)}$
(2) $\dfrac{2x-1}{x(x-1)}$
【考え方と解答】
(1) 分母の因数と分子を見て，$(x+1)-x=1$ であることを考えて
(1) 分母の因数と分子を見て，$(x+1)-x=1$ であることを考えて
\begin{align*}
\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}
\end{align*}
(2) (1)と同じように，$x+(x-1)=2x-1$ であることを考えると\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{2x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}
\end{align*}
\dfrac{2x-1}{x(x-1)}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-1}
\end{align*}