【数学ⅡB】2直線の平行条件と垂直条件【福岡大・立教大】

Contents

2直線の垂直条件

ヒロ

それでは，2直線が垂直になる条件を考える。

ヒロ

直線の方程式が基本形で表されているときは，すぐに傾きが分かる。

ヒロ

2つの直線の傾きから，2直線が垂直になる条件を考える。

【2直線が垂直になる条件】
　直交する2直線 $l,~m$ の方程式をそれぞれ $l:y=ax+b$，$m:y=cx+d~(a>0,~c<0)$ とし，$l,~m$ の交点をPとする。点Pとの距離が1となる $x$ 軸と垂直な直線と2直線 $l,~m$ との交点をそれぞれQ，Rとする。

$l$ の傾きが $a$ であるから，$\text{QH}=a$ である。また，$m$ の傾きが $c$ であるから $\text{RH}=-c$ である。$\sankaku{PQH}$ と $\sankaku{PRH}$ はともに直角三角形であるから，三平方の定理より

\begin{align*} &\text{PQ}^2=\text{QH}^2+\text{PH}^2=a^2+1 \\[4pt] &\text{PR}^2=\text{RH}^2+\text{PH}^2=c^2+1 \end{align*}

さらに $\sankaku{PQR}$ が直角三角形であるときを考えて

\begin{align*} &\text{PQ}^2+\text{PR}^2=\text{QR}^2 \\[4pt] &(a^2+1)+(c^2+1)=(a-c)^2 \\[4pt] &a^2+c^2+2=a^2-2ac+c^2 \\[4pt] &ac=-1 \end{align*}

ヒロ

これより，2直線が直交するときは，2直線の傾きの積が $-1$ であることが分かる。

2直線の垂直条件：基本形　2直線 $l,~m$ の方程式がそれぞれ $l:y=ax+b$，$m:y=cx+d$ であるとき，$l$ と $m$ が垂直になるのは，2直線の傾きの積が $-1$ になるときである。すなわち $ac=-1$ のときである。

ヒロ

切片形で表された2直線が垂直になる条件を考える。

ヒロ

2直線の傾きの積が $-1$ になることを利用しよう。

2直線の垂直条件：切片形　2直線 $l,~m$ の方程式をそれぞれ $l:\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$，$m:\dfrac{x}{c}+\dfrac{y}{d}=1$ とする。$l$ と $m$ が垂直になるのは，2直線の傾きの積が $-1$ であるときだから

\begin{align*}
&-\dfrac{b}{a}\times\left(-\dfrac{d}{c}\right)=-1 \\[4pt]
&ac+bd=0
\end{align*}

ヒロ

一般形で表された2直線が垂直になる条件を考える。

ヒロ

直線の方程式の $x$ の係数や $y$ の係数が0の場合は，座標軸に平行な直線となり，垂直かどうかは簡単に分かるため，そうでない場合を考える。

2直線の垂直条件：一般形　2直線 $l,~m$ の方程式がそれぞれ $l:ax+by+c=0$，$m:px+qy+r=0$ であるとき，$l$ と $m$ が垂直になるのは，それぞれの傾き $-\dfrac{a}{b}$ と $-\dfrac{p}{q}$ の積が $-1$ になるときである。

\begin{align*}
&-\dfrac{a}{b}\times\left(-\dfrac{p}{q}\right)=-1 \\[4pt]
&ap+bq=0
\end{align*}

ヒロ

このことを利用すると，直線の方程式が一般形で与えられていたとしても，基本形に変形することなく，その直線と垂直な直線の方程式を求めることができるようになる。

垂直な直線の方程式点 $(p,~q)$ を通り，直線 $ax+by+c=0$ と垂直な直線の方程式は

\begin{align*}
b(x-p)-a(y-q)=0
\end{align*}

である。