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【数学IA】動点の位置に関する確率

動点の位置に関する確率数学IAIIB
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ここでは動点の位置に関する確率について解説します。

実際に定期テストで出題された問題を用いて説明します。

確実に解けるようにしましょう。

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数直線上を動く点に関する確率

問題$x$ 軸上にある点Pは,さいころを投げて,6の約数が出たときPは正の方向に1だけ進み,6の約数でないとき,負の方向に1だけ進む。Pが原点から出発し,さいころを4回投げたとき点Pが以下の点の位置にある確率を求めよ。
(1) 原点
(2) $x=-3$
【(1)の考え方と解答】
6以下の自然数で6の約数は1, 2, 3, 6であるから,さいころを投げたとき6の約数の目が出る確率は $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$ であり,6の約数以外の目が出る確率は $1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$ である。
点Pの動き方は,出る目によって方向だけが異なるから,点Pが原点にあるのは,6の約数の目が出る回数と6の約数でない目が出る回数が等しいときである。すなわち,2回ずつ出るときであるから,求める確率は
\begin{align*}
&\nCk{4}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^2\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{6\Cdot4}{3^4}=\dfrac{8}{27}
\end{align*}

(2) Pが $x=-3$ にある確率

【(2)の考え方と解答】
(1)を解いた時点で点Pが $x=-3$ にあることはないことがすぐに分かる人もいるだろう。その場合は,もちろん確率は0になるが,そのことを示さなければならない。
逆に点Pが $x=-3$ に来ないことがすぐに分からない人は,出る目の回数を文字でおいて方程式を立てて求めよう。
6の約数の目が出る回数を $n$ とすると,6の約数以外の目が出る回数は $4-n$ であるから,点Pが $x=-3$ にあるとき
\begin{align*}
n-(4-n)=-3
\end{align*}
が成り立つ。これを解くと $n=\dfrac{1}{2}$ となるが,これは整数でないため不適である。したがって,点Pが $x=-3$ にあることはなく,求める確率は0である。
ヒロ
ヒロ

点Pが $x=-3$ に来ないことがすぐに分かっても分からなくても,することは同じである。

数直線上を動く点に関する確率2

問題数直線上を動く点Pが原点にある。1個のさいころを投げて,1または2の目が出たら正の方向へ3だけ進み,他の目が出たら負の方向へ2進む。さいころを6回投げてPの座標が $-2$ である確率を求めよ。
【考え方と解答】
1個のさいころを投げて,1または2の目が出る確率は $\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$ であり,他の目が出る確率は $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ である。
1または2の目が出る回数を $n$ とすると,他の目が出る回数は $6-n$ であるから,点Pの座標が $-2$ であるとき
\begin{align*}
3n-2(6-n)=-2
\end{align*}
が成り立つ。これを解くと
\begin{align*}
&3n-12+2n=-2 \\[4pt]
&5n=10 \\[4pt]
&n=2
\end{align*}
となる。したがって,求める確率は
\begin{align*}
&\nCk{6}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\left(\dfrac{2}{3}\right)^4 \\[4pt]
&=\dfrac{15\Cdot16}{3^6}=\dfrac{80}{243}
\end{align*}

数直線上を動く点に関する確率3

問題表の出る確率が $\dfrac{2}{3}$,裏の出る確率が $\dfrac{1}{3}$ である硬貨がある。$x$ 軸上を動く点Aが最初に原点にある。硬貨を投げて表が出たら正の方向に1だけ進み,裏が出たら負の方向に1だけ進む。このとき,次の問いに答えよ。
(1) 硬貨を6回投げるとき,6回目に点Aが原点にある確率を求めよ。
(2) 硬貨を6回投げるとき,6回目に点Aが初めて原点に戻る確率を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
表が出る回数を $n$ とおくと,
\begin{align*}
&n-(6-n)=0 \\[4pt]
&2n-6=0 \\[4pt]
&n=3
\end{align*}
条件をみたすのは表と裏が3回ずつ出るときだから,その確率は
\begin{align*}
&\nCk{6}{3}\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\left(\dfrac{1}{3}\right)^3=\dfrac{20\Cdot8}{3^6} \\[4pt]
&=\dfrac{160}{729}
\end{align*}

(2) 硬貨を6回投げるとき,6回目に点Aが初めて原点に戻る確率を求めよ。

【(2)の考え方と解答】
(1)と異なるのは「初めて」の部分である。表が出る回数と裏が出る回数が一致したときに点Aが原点にあるが,それが6回目に初めて起こらなければならない。簡単に立式できないと思った場合は,条件を満たす状況を具体的に考えよう。
表を○,裏を×と表すことにすると,条件をみたすのは次のときである。
 ○○○×××,○○×○××,×××○○○,××○×○○
上の4つの確率はすべて等しいから,求める確率は
\begin{align*}
&\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times4 \\[4pt]
&=\dfrac{8\Cdot4}{3^6}=\dfrac{32}{729}
\end{align*}
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