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【数学IA】くじ引きの公平性【独立な試行の確率】

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くじ引きの公平性数学IAIIB

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くじ引きの公平性

ヒロ
ヒロ

次の問題は実際に定期テストで出題されたもの。

問題当たりくじ2本が入ったくじ10本がある。いま,A君,Bさん,Cさんの3人がこの順に引いたくじを戻さずに,くじを引くことにしたら,Cさんからクレームが出た。「当たりが2本しかないので自分が引くとき,当たりがないことがあるので不公平だ」というものです。3人の当たる確率 $P(A),~P(B),~P(C)$ を計算し,Cさんを説得して下さい。
【Cさんを説得する】
最初にくじを引くA君の当たる確率を求める。
くじの引き方は10通りで,当たりくじの選び方は2通りだから,A君の当たる確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}
次にBさんの当たる確率を求める。
Bさんが当たりくじを引くのは次の2つの場合がある。
 (i) A君が当たりくじを引いて,Bさんも当たりくじを引く。
 (ii) A君がはずれくじを引いて,Bさんが当たりくじを引く。
(i)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{10}\Cdota\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}
(ii)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{2}{9}=\dfrac{8}{45}
\end{align*}
(i)と(ii)は排反事象であるから,Bさんの当たる確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{45}+\dfrac{8}{45}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}
Cさんの当たる確率を求めよう。
当たりくじを引くことを○で表し,はずれくじを引くことを×で表すことにする。
Cさんが当たりくじを引くのは次の3つ場合がある。
 (i) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(○,~×,~○)$
 (ii) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(×,~○,~○)$
 (iii) $(\text{A},~\text{B},~\text{C})=(×,~×,~○)$
(i)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{10}\Cdota\dfrac{8}{9}\Cdota\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}
(ii)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{2}{9}\Cdota\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{45}
\end{align*}
(iii)が起こる確率は
\begin{align*}
\dfrac{8}{10}\Cdota\dfrac{7}{9}\Cdota\dfrac{2}{8}=\dfrac{7}{45}
\end{align*}
(i)~(iii)は排反事象であるから,Cさんの当たる確率は
\begin{align*}
\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{45}+\dfrac{7}{45}=\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}
\end{align*}
以上より,3人の当たる確率はすべて $\dfrac{1}{5}$ で等しく,くじを引く順番は関係なく,くじ引きの公平性が示された。

くじ引きに関する確率

問題7本のくじがあり,そのうちの3本が当たりであるとする。このくじをまずAが同時に2本引き,次にBが同時に2本引く。このとき,次の場合の確率を求めよ。ただし,引いたくじは元に戻さないものとする。
(1) Aが1本だけ当たり,Bも1本だけ当たる。
(2) Bが1本だけ当たる。
【(1)の考え方と解答】
くじを2本引いて1本だけ当たるということは,もう1本ははずれであることを意識しよう。また,引いたくじを元に戻さないから,Bが引くときはくじの本数は5本になっていることに注意しよう。
Aが1本だけ当たり,Bも1本だけ当たる確率は,AとBがともに1本当たり,もう1本はずれを引く確率だから
\begin{align*}
\dfrac{3\Cdot4}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{2\Cdot3}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{12}{21}\times\dfrac{6}{10} \\[4pt]&=\dfrac{12}{35}
\end{align*}

(2) Bが1本だけ当たる。

【(2)の考え方と解答】
Bが1本だけ当たるのは次の3つのパターンがある。
 (i) Aが2本当たり,Bが1本だけ当たる。
 (ii) Aが1本だけ当たり,Bも1本だけ当たる。
 (iii) Aがはずれを2本引いて,Bが1本だけ当たる。
(i)のときの確率は
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{3}{2}}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{1\Cdot4}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{3}{21}\times\dfrac{4}{10} \\[4pt]&=\dfrac{12}{210}=\dfrac{2}{35}
\end{align*}

(ii)のときの確率は,(1)より $\dfrac{12}{35}$
(iii)のときの確率は
\begin{align*}
\dfrac{\nCk{4}{2}}{\nCk{7}{2}}\times\dfrac{3\Cdot2}{\nCk{5}{2}}&=\dfrac{6}{21}\times\dfrac{6}{10} \\[4pt]&=\dfrac{36}{210}=\dfrac{6}{35}
\end{align*}
(i),(ii)より,求める確率は
\begin{align*}
\dfrac{2}{35}+\dfrac{12}{35}+\dfrac{6}{35}=\dfrac{20}{35}=\dfrac{4}{7}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

「くじ」と言えば思い出すのが「宝くじ」だろう。

ヒロ
ヒロ

「宝くじなんて誰がいつ買っても当たる確率なんて変わらない」と思っている人がほとんどである。

ヒロ
ヒロ

しかし実際には,実質安く買うことで当選確率を上げることができる買い方がある。

ヒロ
ヒロ

宝くじには特殊な買い方があることを知らない人は,次の記事を読んで「知っている側」になろう。

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大学入試数学の考え方と解法
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