曲線上の動点に連動する点の軌跡【成蹊大・東京電機大・福岡大・広島修道大】

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直線上の点と連動する点の軌跡【福岡大】

2019年福岡大直線 $y=\dfrac{1}{2}x-1$ に関して点Q$(a,~b)$ と対称な点Pの座標を求めると $\myhako$ であり，点Q$(a,~b)$ が直線 $y=2x-3$ 上を動くとき，点Pの軌跡の方程式を求めると $\myhako$ である。

ヒロ

直線に関して対称な点については，次の記事を参考にしよう。

【考え方と解答】
点Pの座標を $(X,~Y)$ とする。PQの中点が直線 $y=\dfrac{1}{2}x-1$ 上にあるから

\begin{align*}
&\dfrac{b+Y}{2}=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{a+X}{2}-1 \\[4pt]
&2b+2Y=a+X-4 \\[4pt]
&X-2Y=-a+2b+4~\cdots\cdots①
\end{align*}

直線PQは直線 $x-2y-2=0$ と垂直であるから，

\begin{align*}
&1\Cdot(Y-b)+2(X-a)=0 \\[4pt]
&2X+Y=2a+b~\cdots\cdots②
\end{align*}

※$X=a$ のときにPQの傾きが定義できないから，傾きの積を利用した式，つまり

\begin{align*}
\dfrac{Y-b}{X-a}\Cdota\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-1
\end{align*}

を書いていない。記述式でこの式を書いた場合は，減点されるかもしれないため，$X=a$ のときと $X\neq a$ のときで場合分けをして解答を書くか，上で書いたような傾きを利用しない書き方をした方が良いだろう。
$\dfrac{①+②\times2}{5}$ より

\begin{align*}
X&=\dfrac{(-a+2b+4)+2(2a+b)}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{3a+4b+4}{5}
\end{align*}

$\dfrac{②-①\times2}{5}$ より

\begin{align*}
Y&=\dfrac{(2a+b)-2(-a+2b+4)}{5} \\[4pt]
&=\dfrac{4a-3b-8}{5}
\end{align*}

よって，求める点Pの座標は $\left(\dfrac{3a+4b+4}{5},~\dfrac{4a-3b-8}{5}\right)$
点Q$(a,~b)$ が直線 $y=2x-3$ 上を動くとき，$b=2a-3$ が成り立つから

\begin{align*}
\begin{cases}
X=\dfrac{3a+4(2a-3)+4}{5}=\dfrac{11a-8}{5} \\[4pt]
Y=\dfrac{4a-3(2a-3)-8}{5}=\dfrac{-2a+1}{5}
\end{cases}
\end{align*}

2式から $a$ を消去すると

\begin{align*}
&\dfrac{5X+8}{11}=\dfrac{5Y-1}{-2} \\[4pt]
&2(5X+8)+11(5Y-1)=0 \\[4pt]
&10X+55Y+5=0 \\[4pt]
&2X+11Y+1=0
\end{align*}

よって，求める点Pの軌跡の方程式は

\begin{align*}
2x+11y+1=0
\end{align*}