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放物線上の2点を結んだ線分の中点の軌跡【広島修道大】
2019年 広島修道大2点A，Bが曲線 $y=x^2$ 上を動き，点Aと点Bを結ぶ線分ABの長さが3のとき，線分ABの中点Pの軌跡の方程式を求めよ。
【考え方と解答】
2点A，B，Pの座標をそれぞれA$(a,~a^2)$，B$(b,~b^2)$，P$(X,~Y)$ とおくと，点PはABの中点であるから
①と②は $a,~b$ についての対称式であるから，$a+b,~ab$ だけで表せることを利用する。①より
2点A，B，Pの座標をそれぞれA$(a,~a^2)$，B$(b,~b^2)$，P$(X,~Y)$ とおくと，点PはABの中点であるから
\begin{align*}
X=\dfrac{a+b}{2},~Y=\dfrac{a^2+b^2}{2}~\cdots\cdots①
\end{align*}
が成り立つ。ABの長さが3であるからX=\dfrac{a+b}{2},~Y=\dfrac{a^2+b^2}{2}~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&\text{AB}^2=9 \\[4pt]
&(b-a)^2+(b^2-a^2)^2=9~\cdots\cdots②
\end{align*}
が成り立つ。①と②から $a,~b$ を消去して $X,~Y$ の関係式を導くことを考える。&\text{AB}^2=9 \\[4pt]
&(b-a)^2+(b^2-a^2)^2=9~\cdots\cdots②
\end{align*}
①と②は $a,~b$ についての対称式であるから，$a+b,~ab$ だけで表せることを利用する。①より
\begin{align*}
a+b=2X
\end{align*}
であり，またa+b=2X
\end{align*}
\begin{align*}
&Y=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{2} \\[4pt]
&Y=\dfrac{(2X)^2-2ab}{2}\\[4pt]
&ab=2X^2-Y
\end{align*}
②より&Y=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{2} \\[4pt]
&Y=\dfrac{(2X)^2-2ab}{2}\\[4pt]
&ab=2X^2-Y
\end{align*}
\begin{align*}
&(b-a)^2\{1+(a+b)^2\}=9 \\[4pt]
&\{(a+b)^2-4ab\}\{1+(a+b)^2\}=9 \\[4pt]
&\{(2X)^2-4(2X^2-Y)\}\{1+(2X)^2\}=9 \\[4pt]
&(-4X^2+4Y)(1+4X^2)=9 \\[4pt]
&Y-X^2=\dfrac{9}{4(4X^2+1)} \\[4pt]
&Y=X^2+\dfrac{9}{4(4X^2+1)}
\end{align*}
よって，求める点Pの軌跡の方程式は&(b-a)^2\{1+(a+b)^2\}=9 \\[4pt]
&\{(a+b)^2-4ab\}\{1+(a+b)^2\}=9 \\[4pt]
&\{(2X)^2-4(2X^2-Y)\}\{1+(2X)^2\}=9 \\[4pt]
&(-4X^2+4Y)(1+4X^2)=9 \\[4pt]
&Y-X^2=\dfrac{9}{4(4X^2+1)} \\[4pt]
&Y=X^2+\dfrac{9}{4(4X^2+1)}
\end{align*}
\begin{align*}
y=x^2+\dfrac{9}{4(4x^2+1)}
\end{align*}
y=x^2+\dfrac{9}{4(4x^2+1)}
\end{align*}