2004年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面

2004年センター試験数学ⅡB 第1問複素数平面の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2004年センターⅡB 第1問複素数平面

　複素数 $z=x+yi$（$x$, $y$ は実数）は $y\neq0$ を満たし，かつ1, $z$, $z^2$, $z^3$ は相異なるとする。また $z$ に共役な複素数を $\overline{z}=x-yi$ とする。
(1) 複素数平面において1, $z$, $z^2$, $z^3$ の表す点をそれぞれ $\mathrm{A}_0$, $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{A}_2$, $\mathrm{A}_3$とする。線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わる条件を求めよう。線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外の点Bで交わるとする。点Bを表す複素数を $w$ とする。点Bが線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ を $a:(1-a)$ に内分していれば

\begin{align*}
w=az+1-a
\end{align*}

と表される。ここで $0<a<1$ である。点Bが線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ を $b:(1-b)$ に内分していれば

\begin{align*}w=bz^3+(1-b)z^2 \end{align*}

と表される。ここで $0<b<1$ である。ゆえに

\begin{align*} bz^3+(1-b)z^2=az+1-a \end{align*}

すなわち

\begin{align*} \left(z-\myBox{ア}\right)\left(\myBox{イ}\,z^2+z+1-\myBox{ウ}\right)=0 \end{align*}

である。$z$ は実数ではないから

\begin{align*} z+\overline{z}=-\dfrac{1}{\myBox{エ}},~z\overline{z}=\dfrac{1-\myBox{オ}}{\myBox{カ}} \end{align*}

である。これから $a$ と $b$ を，$x$ と $y$ を用いて表すと

\begin{align*} a=\myBox{キ}+\dfrac{x^{\myBox{ク}}+y^{\myBox{ケ}}}{\myBox{コ}\,x},~b=-\dfrac{1}{\myBox{サ}\,x} \end{align*}

である。
　したがって，$0<a<1$, $0<b<1$ より，線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わる条件は

\begin{align*} x<\dfrac{\myBox{シス}}{\myBox{セ}}~かつ~\left(x+\myBox{ソ}\right)^2+y^2<\myBox{タ} \end{align*}

である。
(2) $z^4$ の表す点を $\mathrm{A}_4$ とする。$z$ が(1)の条件を満たすとき，すなわち，線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わるとき，線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ は両端以外で $\myBox{チ}$。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを，次の⓪～②のうちから一つ選べ。
⓪ 必ず交わる
① 交わることはない
② 交わることも，交わらないこともある

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2004年センター数学ⅡB 複素数平面を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

最初は等式を変形する問題だね。

ヒロ

1つの解を見つけよう。

【ア～ウの解答】
$z=1$ のとき，両辺はともに1となり等式が成り立つことを利用する。

\begin{align*}
&bz^3+(1-b)z^2=az+1-a \\[4pt]
&bz^3+(1-b)z^2-az+a-1=0 \\[4pt]
&(z-1)(bz^2+z+1-a)=0
\end{align*}

ヒロ

今回の問題では，簡単に暗算で割り算をすることができるね。

ヒロ

次は $z$ が実数でない条件から進めよう。

【エ～カの解答】
$z$ が実数でないから，$z\neq1$ である。よって，$z$ は

\begin{align*}
bz^2+z+1-a=0
\end{align*}

の解であり，係数が実数だから $\overline{z}$ も解である。
解と係数の関係より

\begin{align*}
z+\overline{z}=-\dfrac{1}{b},~z\overline{z}=\dfrac{1-a}{b}
\end{align*}

ヒロ

この結果から $a$ と $b$ を $x$ と $y$ で表す問題。

ヒロ

まず，左辺を $x$ と $y$ で表そう。

【キ～サの解答】
$z+\overline{z}=2x$, $z\overline{z}=x^2+y^2$ であるから

\begin{align*}
\begin{cases}
2x=-\dfrac{1}{b} &~\cdots\cdots① \\[4pt]
x^2+y^2=\dfrac{1-a}{b} &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}

①より，$b=-\dfrac{1}{2x}$
②に代入して

\begin{align*}
&x^2+y^2=-2x(1-a) \\[4pt]
&a-1=\dfrac{x^2+y^2}{2x} \\[4pt]
&a=1+\dfrac{x^2+y^2}{2x}
\end{align*}

ヒロ

次は $a$ と $b$ の範囲から，$x$ と $y$ に関する条件を求める問題。

(2)の解答

(2) $z^4$ の表す点を $\mathrm{A}_4$ とする。$z$ が(1)の条件を満たすとき，すなわち，線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わるとき，線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ は両端以外で $\myBox{チ}$。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを，次の⓪～②のうちから一つ選べ。
⓪ 必ず交わる
① 交わることはない
② 交わることも，交わらないこともある

ヒロ

次は線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ がどこで交わるかを考える問題。

【チの考え方と解答】

　$z$ が(1)の条件を満たすとき，すなわち線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わるとき，

\begin{align*} bz^3+(1-b)z^2=az+1-a \end{align*}

が成り立つ。いま考えることは，線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ の関係。つまり，式の中に $z^4$ が現れないと話にならない。上の等式は3次式の等式で，これを4次式にする最も簡単な方法は両辺に $z$ をかけること。ということで，両辺に $z$ をかけて次数を上げると，次のようになる。

\begin{align*} bz^4+(1-b)z^3=az^2+(1-a)z \end{align*}

この等式は成り立つ等式であり，これは線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ が両端以外で交わることを示している。

　よって，必ず交わる。$\myBox{チ}=⓪$

ヒロ

次のように考えて解いても良い。

【チの別解】

　$z$ を極形式で表したとき，$z=r(\polar{\theta})$ となるとすると，$z$ をかけることは，複素数平面上で原点を中心として $\theta$ 回転し，$r$ 倍に拡大する操作を表している。

　よって，4点 $\mathrm{A}_0$, $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{A}_2$, $\mathrm{A}_3$ を原点を中心に $\theta$ 回転し，$r$ 倍に拡大すると，それぞれ $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{A}_2$, $\mathrm{A}_3$, $\mathrm{A}_4$ に移る。すなわち，線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ の交点は，線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ と線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ の交点に移る。

　よって，必ず交わる。$\myBox{チ}=⓪$