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2004年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面

2004年センター数学ⅡB 複素数平面数学III
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2004年センター試験 数学ⅡB 第1問 複素数平面の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2004年 センターⅡB 第1問 複素数平面
 複素数 $z=x+yi$($x$, $y$ は実数)は $y\neq0$ を満たし,かつ1, $z$, $z^2$, $z^3$ は相異なるとする。また $z$ に共役な複素数を $\overline{z}=x-yi$ とする。
(1) 複素数平面において1, $z$, $z^2$, $z^3$ の表す点をそれぞれ $\mathrm{A}_0$, $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{A}_2$, $\mathrm{A}_3$とする。線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わる条件を求めよう。線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外の点Bで交わるとする。点Bを表す複素数を $w$ とする。点Bが線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ を $a:(1-a)$ に内分していれば
\begin{align*}
w=az+1-a
\end{align*}
と表される。ここで $0<a<1$ である。点Bが線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ を $b:(1-b)$ に内分していれば
\begin{align*}w=bz^3+(1-b)z^2 \end{align*}
と表される。ここで $0<b<1$ である。ゆえに
\begin{align*} bz^3+(1-b)z^2=az+1-a \end{align*}
すなわち
\begin{align*} \left(z-\myBox{ア}\right)\left(\myBox{イ}\,z^2+z+1-\myBox{ウ}\right)=0 \end{align*}
である。$z$ は実数ではないから
\begin{align*} z+\overline{z}=-\dfrac{1}{\myBox{エ}},~z\overline{z}=\dfrac{1-\myBox{オ}}{\myBox{カ}} \end{align*}
である。これから $a$ と $b$ を,$x$ と $y$ を用いて表すと
\begin{align*} a=\myBox{キ}+\dfrac{x^{\myBox{ク}}+y^{\myBox{ケ}}}{\myBox{コ}\,x},~b=-\dfrac{1}{\myBox{サ}\,x} \end{align*}
である。
 したがって,$0<a<1$, $0<b<1$ より,線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わる条件は
\begin{align*}     x<\dfrac{\myBox{シス}}{\myBox{セ}}~かつ~\left(x+\myBox{ソ}\right)^2+y^2<\myBox{タ} \end{align*}
である。
(2) $z^4$ の表す点を $\mathrm{A}_4$ とする。$z$ が(1)の条件を満たすとき,すなわち, 線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わるとき, 線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ は両端以外で $\myBox{チ}$。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを, 次の⓪~②のうちから一つ選べ。
⓪ 必ず交わる
① 交わることはない
② 交わることも,交わらないこともある
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(1)の解答

ヒロ
ヒロ

最初は等式を変形する問題だね。

ヒロ
ヒロ

1つの解を見つけよう。

【ア~ウの解答】
$z=1$ のとき,両辺はともに1となり等式が成り立つことを利用する。
\begin{align*}
&bz^3+(1-b)z^2=az+1-a \\[4pt]
&bz^3+(1-b)z^2-az+a-1=0 \\[4pt]
&(z-1)(bz^2+z+1-a)=0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

今回の問題では,簡単に暗算で割り算をすることができるね。

ヒロ
ヒロ

次は $z$ が実数でない条件から進めよう。

【エ~カの解答】
$z$ が実数でないから,$z\neq1$ である。よって,$z$ は
\begin{align*}
bz^2+z+1-a=0
\end{align*}
の解であり,係数が実数だから $\overline{z}$ も解である。
解と係数の関係より
\begin{align*}
z+\overline{z}=-\dfrac{1}{b},~z\overline{z}=\dfrac{1-a}{b}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

この結果から $a$ と $b$ を $x$ と $y$ で表す問題。

ヒロ
ヒロ

まず,左辺を $x$ と $y$ で表そう。

【キ~サの解答】
$z+\overline{z}=2x$, $z\overline{z}=x^2+y^2$ であるから
\begin{align*}
\begin{cases}
2x=-\dfrac{1}{b} &~\cdots\cdots① \\[4pt]
x^2+y^2=\dfrac{1-a}{b} &\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
①より,$b=-\dfrac{1}{2x}$
②に代入して
\begin{align*}
&x^2+y^2=-2x(1-a) \\[4pt]
&a-1=\dfrac{x^2+y^2}{2x} \\[4pt]
&a=1+\dfrac{x^2+y^2}{2x}
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

次は $a$ と $b$ の範囲から,$x$ と $y$ に関する条件を求める問題。

(2)の解答

(2) $z^4$ の表す点を $\mathrm{A}_4$ とする。$z$ が(1)の条件を満たすとき,すなわち, 線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わるとき, 線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ は両端以外で $\myBox{チ}$。 $\myBox{チ}$ に当てはまるものを, 次の⓪~②のうちから一つ選べ。
⓪ 必ず交わる
① 交わることはない
② 交わることも,交わらないこともある

ヒロ
ヒロ

次は線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ がどこで交わるかを考える問題。

【チの考え方と解答】
 $z$ が(1)の条件を満たすとき,すなわち線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ が両端以外で交わるとき,
\begin{align*}     bz^3+(1-b)z^2=az+1-a \end{align*}
が成り立つ。いま考えることは,線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ の関係。つまり,式の中に $z^4$ が現れないと話にならない。上の等式は3次式の等式で,これを4次式にする最も簡単な方法は両辺に $z$ をかけること。ということで,両辺に $z$ をかけて次数を上げると,次のようになる。
\begin{align*}     bz^4+(1-b)z^3=az^2+(1-a)z \end{align*}
この等式は成り立つ等式であり,これは線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ と線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ が両端以外で交わることを示している。
 よって,必ず交わる。$\myBox{チ}=⓪$
ヒロ
ヒロ

次のように考えて解いても良い。

【チの別解】
 $z$ を極形式で表したとき,$z=r(\polar{\theta})$ となるとすると,$z$ をかけることは,複素数平面上で原点を中心として $\theta$ 回転し,$r$ 倍に拡大する操作を表している。
 よって,4点 $\mathrm{A}_0$, $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{A}_2$, $\mathrm{A}_3$ を原点を中心に $\theta$ 回転し,$r$ 倍に拡大すると,それぞれ $\mathrm{A}_1$, $\mathrm{A}_2$, $\mathrm{A}_3$, $\mathrm{A}_4$ に移る。すなわち,線分 $\mathrm{A}_0\mathrm{A}_1$ と線分 $\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3$ の交点は,線分 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2$ と線分 $\mathrm{A}_3\mathrm{A}_4$ の交点に移る。
 よって,必ず交わる。$\myBox{チ}=⓪$

2004年 センター数学ⅡB 複素数平面を解いた感想

ヒロ
ヒロ

(1)については,丁寧な誘導があるため,何をすれば良いか分からないということはないだろう。

ヒロ
ヒロ

ただ,(1)の最後の $x$ と $y$ の条件を求める問題では,$x<0$ であることに注意しないと正しく求められない。

ヒロ
ヒロ

(2)は $z$ をかけることと複素数平面上での操作の関係を理解しているかどうかがポイントとなるだろう。

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