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微分接触型の積分問題では置換しないで積分しよう

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微分接触型の積分問題では置換しないで微分しよう数学III

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積分問題2

ヒロ
ヒロ

それでは次の積分をしてみよう。

問題2(1) $\dint{}{}\sin^2x\cos xdx$
(2) $\dint{}{}\dfrac{\cos x}{1+\sin x}dx$
(3) $\dint{}{}\dfrac{1}{x\log x}dx$

(1)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

次は三角関数の微分接触型の積分問題。

【(1)の考え方と解答】
$f(x)=x^2$, $g(x)=\sin x$ とすると
\begin{align*}
\sin^2x=f(g(x))
\end{align*}
と表すことができる。また
\begin{align*}
g'(x)=\cos x
\end{align*}
となる。あとは $x^2$ の不定積分の1つが $\dfrac{1}{3}x^3$ となることを考えると,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}\sin^2x\cos xdx&=\dfrac{1}{3}\sin^3x+C
\end{align*}

(2)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

次は分数で表された関数の微分接触型の積分問題。

【(2)の考え方と解答】
$f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=1+\sin x$ とすると
\begin{align*}
\dfrac{1}{1+\sin x}=f(g(x))
\end{align*}
と表すことができる。また
\begin{align*}
g'(x)=\cos x
\end{align*}
となる。あとは $\dfrac{1}{x}$ の不定積分の1つが $\log\abs{x}$ となることを考えると,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{\cos x}{1+\sin x}dx&=\log(1+\sin x)+C
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

ちなみに $1+\sin x$ が被積分関数の分母にあるから,$1+\sin x\neq0$ である。また,$\sin x\geqq-1$ より,$1+\sin x>0$ であるから,上の不定積分を書くときに絶対値記号を書いていない。

今回の場合は微分接触型という認識ではなく,
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\log\abs{f(x)}+C
\end{align*}
として認識している人も多いと思うが,どのような形で認識するかは問題ではない。この記事では「このように考えると置換せずに積分できるよ」という部分が主である。

(3)の考え方と解答

ヒロ
ヒロ

次も分数で表された関数の微分接触型の積分問題。

【(3)の考え方と解答】
$f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=\log x$ とすると
\begin{align*}
\dfrac{1}{\log x}=f(g(x))
\end{align*}
と表すことができる。また
\begin{align*}
g'(x)=\dfrac{1}{x}
\end{align*}
となる。あとは $\dfrac{1}{x}$ の不定積分の1つが $\log\abs{x}$ となることを考えると,求める不定積分は次のようになる。
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{x\log x}dx&=\log\abs{\log x}+C
\end{align*}

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