Contents
積分問題3
ヒロ
次は少し難しく感じる微分接触型の積分問題。
問題3(1) $\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx$
(2) $\dint{}{}\sin^3xdx$
(3) $\dint{}{}\dfrac{1}{\cos^2x\tan x}dx$
(4) $\dint{}{}\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}dx$
(2) $\dint{}{}\sin^3xdx$
(3) $\dint{}{}\dfrac{1}{\cos^2x\tan x}dx$
(4) $\dint{}{}\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}dx$
(1)の考え方と解答
ヒロ
$\sin x$ と $\cos x$ の次数に着目しよう。
ヒロ
次数が偶数の方を主と見て，次数が奇数の方が1つだけ残るように変形しよう。
ヒロ
今回の場合は $\cos^2x$ を主と見て，$\sin^3x$ は $\sin x$ を1つ残して，$\sin^2x$ を $\cos x$ で表そう。
【(1)の考え方と解答】
\begin{align*}
&\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(1-\cos^2x)\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(\cos^2x-\cos^4x)dx
\end{align*}
ここで&\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(1-\cos^2x)\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(\cos^2x-\cos^4x)dx
\end{align*}
\begin{align*}
f(x)=x^2-x^4,~g(x)=\cos x
\end{align*}
とおくとf(x)=x^2-x^4,~g(x)=\cos x
\end{align*}
\begin{align*}
\cos^2x-\cos^4x=f(g(x)),~g'(x)=-\sin x
\end{align*}
となるから，求める不定積分は次のようになる。\cos^2x-\cos^4x=f(g(x)),~g'(x)=-\sin x
\end{align*}
\begin{align*}
&\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(\cos^2x-\cos^4x)dx \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{3}\cos^3x+\dfrac{1}{5}\cos^5x+C
\end{align*}
&\dint{}{}\sin^3x\cos^2xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}\sin x(\cos^2x-\cos^4x)dx \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{3}\cos^3x+\dfrac{1}{5}\cos^5x+C
\end{align*}
(2)の考え方と解答
ヒロ
$\sin^3x=\sin^2x\times\sin x$ と見て，$\sin^2x$ を $\cos x$ で表そう。
【(2)の考え方と解答】
\begin{align*}
&\dint{}{}\sin^3xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}(1-\cos^2x)\sin xdx \\[4pt]
&=-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C
\end{align*}
&\dint{}{}\sin^3xdx \\[4pt]
&=\dint{}{}(1-\cos^2x)\sin xdx \\[4pt]
&=-\cos x+\dfrac{1}{3}\cos^3x+C
\end{align*}
ヒロ
$\cos x$ を微分すると $(\cos x)’=-\sin x$ となってマイナスの符号が付くことに注意しよう。
(3)の考え方と解答
ヒロ
$(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2x}$ を覚えていない人は覚えておこう。
【(3)の考え方と解答】
$f(x)=\dfrac{1}{x},~g(x)=\tan x$ とすると
$f(x)=\dfrac{1}{x},~g(x)=\tan x$ とすると
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\tan x}=f(g(x)) \\[4pt]
&g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}
\end{align*}
となることを利用して積分しよう。&\dfrac{1}{\tan x}=f(g(x)) \\[4pt]
&g'(x)=\dfrac{1}{\cos^2x}
\end{align*}
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\cos^2x\tan x}dx=\log\abs{\tan x}+C
\end{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\cos^2x\tan x}dx=\log\abs{\tan x}+C
\end{align*}
(4)の考え方と解答
ヒロ
$\left(\dfrac{1}{\tan x}\right)’=-\dfrac{1}{\sin^2x}$ を覚えていない人は覚えておこう。
【(4)の考え方と解答】
$f(x)=x,~g(x)=\dfrac{1}{\tan x}$ とすると
$f(x)=x,~g(x)=\dfrac{1}{\tan x}$ とすると
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\tan x}=f(g(x)) \\[4pt]
&g'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2x}
\end{align*}
となることを利用して積分しよう。&\dfrac{1}{\tan x}=f(g(x)) \\[4pt]
&g'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2x}
\end{align*}
\begin{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}dx=-\dfrac{1}{2\tan^2x}+C
\end{align*}
\dint{}{}\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}dx=-\dfrac{1}{2\tan^2x}+C
\end{align*}
ヒロ
次のように変形して積分しても良い。
【(4)の別解】
被積分関数は
被積分関数は
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin^3x}
\end{align*}
となる。ここで $f(x)=\dfrac{1}{x^3}$, $g(x)=\sin x$ とおくと\dfrac{1}{\sin^2x\tan x}=\dfrac{\cos x}{\sin^3x}
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\sin^3x}=f(g(x)) \\[4pt]
&g'(x)=\cos x
\end{align*}
となるから，$\dfrac{1}{x^3}$ の不定積分の1つが $-\dfrac{1}{2x^2}$ であることを考えて，求める不定積分は次のようになる。&\dfrac{1}{\sin^3x}=f(g(x)) \\[4pt]
&g'(x)=\cos x
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{\sin^2x\tan x} \\[4pt]
&=\dint{}{}\dfrac{\cos x}{\sin^3x}dx \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2\sin^2x}+C
\end{align*}
&\dfrac{1}{\sin^2x\tan x} \\[4pt]
&=\dint{}{}\dfrac{\cos x}{\sin^3x}dx \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2\sin^2x}+C
\end{align*}
ヒロ
最初の解答と違って間違っているように見えるけど，変形すれば合っていることが確認できる。
三角関数の忘れられた相互関係$\sin^2x+\cos^2x=1$ の両辺を $\sin^2x$ で割ると次の等式が得られる。
\begin{align*}
1+\dfrac{1}{\tan^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}
\end{align*}
三角関数の相互関係は3つと習っているけど，この等式を4番目の相互関係として覚えて欲しい。1+\dfrac{1}{\tan^2x}=\dfrac{1}{\sin^2x}
\end{align*}
【確認】
\begin{align*}
-\dfrac{1}{2\sin^2x}&=-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\tan^2x}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2\tan^2x}-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$-\dfrac{1}{2}$ は定数だから積分定数の $C$ に含めることで，-\dfrac{1}{2\sin^2x}&=-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\tan^2x}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{2\tan^2x}-\dfrac{1}{2}
\end{align*}
最初の解答の $-\dfrac{1}{2\tan^2x}$ に一致することが分かる。
微分接触型の積分は置換しないで積分しよう
ヒロ
置換しないで積分したい積分問題の1つに，この記事で扱った微分接触型の積分問題も含まれる。
ヒロ
一見，微分接触型に見えない積分もあるが，練習次第で見えてくるようになるので，頑張って練習して欲しい。