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$\displaystyle \sum_{k=1}^n(n-k)^3$ を楽に計算する方法
ヒロ
前置きが長くなったけど，今日の問題の解説をしていこう。
お願いします！
ヒロ
シグマ計算の問題では，次のことを覚えておこう。
そんなこと言われても，式を見ても分からないです。
ヒロ
そうだね。式を見るだけでは分からない。だから，$\sum$を使わずに表すことが重要ってことになる。
ヒロ
まずは，与えられた式をシグマを使わずに書いてみてくれる？
こうなります！
\begin{align*}\sum_{k=1}^n(n-k)^3=(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+\cdots+1^3+0^3\end{align*}
ヒロ
これを見て何か気付くことはある？
最後の項が0です。
ヒロ
そうだね。他には？
加える数がどんどん減ってます。
ヒロ
じゃあ，0になる項を消して，加える数が増えるように並び替えてみよう。
こうですか？
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n(n-k)^3=1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3
\end{align*}
\sum_{k=1}^n(n-k)^3=1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3
\end{align*}
ヒロ
最初に書かれた式には0になる項が含まれていて，順番が逆になってたけど，これでスッキリした形になったね。これを $\sum$ を使って表すとどうなる？
こうですね！
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n(n-k)^3&=1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3 \\
&=\sum_{k=1}^{n-1}k^3
\end{align*}
\sum_{k=1}^n(n-k)^3&=1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3 \\
&=\sum_{k=1}^{n-1}k^3
\end{align*}
ヒロ
今は分かりやすくするために，$\sum$ を使って書き直してもらったけど，そこまでしなくても，もう答えは分かるよね？
公式が使える形になったので，答えはすぐに書けますね。
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^n(n-k)^3=(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+\cdots+1^3+0^3 \\
&=1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3 \\
&=\sum_{k=1}^{n-1}k^3 \\
&=\frac{1}{4}(n-1)^2n^2
\end{align*}
&\sum_{k=1}^n(n-k)^3=(n-1)^3+(n-2)^3+(n-3)^3+\cdots+1^3+0^3 \\
&=1^3+2^3+\cdots+(n-1)^3 \\
&=\sum_{k=1}^{n-1}k^3 \\
&=\frac{1}{4}(n-1)^2n^2
\end{align*}
ヒロ
完璧だね！
これなら面倒臭くないですね！