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シグマの公式を利用したシグマ計算はしんどい
問題$\displaystyle \sum_{k=1}^n(n-k)^3$ を求めよ。
先生，この問題を解いたんですけど見てもらえますか？
\begin{align*}
&\sum_{k=1}^n(n-k)^3
=\sum_{k=1}^n(n^3-3n^2k+3nk^2-k^3)\\
&=n^3\sum_{k=1}^n1-3n^2\sum_{k=1}^nk+3n\sum_{k=1}^nk^2-\sum_{k=1}^nk^3\\
&=n^3\cdot n-3n^2\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+3n\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\\
&=n^4-\frac{3}{2}n^3(n+1)+\frac{1}{2}n^2(n+1)(2n+1)-\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\\
&=\frac{1}{4}n^2\left\{4n^2-6n(n+1)+2(n+1)(2n+1)-(n+1)^2\right\}\\
&=\frac{1}{4}n^2(n^2-2n+1)\\
&=\frac{1}{4}n^2(n-1)^2
\end{align*}
&\sum_{k=1}^n(n-k)^3
=\sum_{k=1}^n(n^3-3n^2k+3nk^2-k^3)\\
&=n^3\sum_{k=1}^n1-3n^2\sum_{k=1}^nk+3n\sum_{k=1}^nk^2-\sum_{k=1}^nk^3\\
&=n^3\cdot n-3n^2\cdot\frac{1}{2}n(n+1)+3n\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\\
&=n^4-\frac{3}{2}n^3(n+1)+\frac{1}{2}n^2(n+1)(2n+1)-\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\\
&=\frac{1}{4}n^2\left\{4n^2-6n(n+1)+2(n+1)(2n+1)-(n+1)^2\right\}\\
&=\frac{1}{4}n^2(n^2-2n+1)\\
&=\frac{1}{4}n^2(n-1)^2
\end{align*}
ヒロ
答えは合ってるね。
よし！合ってた！
でも何か気になる言い方ですね？ダメなところありますか？
ヒロ
この解き方ならダメなところはないよ？
じゃあこの解き方自体がダメってことになるじゃないですか！
ヒロ
残念だけどそうなるね。シグマ公式を利用して計算するのはしんどいでしょ。
これ以外の解き方なんてあるんですか？
ヒロ
なんで他の解き方はないって思うの？
だって展開しないといけないじゃないですか！
ヒロ
本当に展開しないといけないのか，今日はその点を考えてみようか。