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シグマ計算を式変形することで楽にしよう
まずは和を表す記号シグマ（$\sum$）について復習しよう。
基本は大丈夫だと思います。
では，ウォーミングアップから。$S$を
$S=1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2$
とするとき，$S$ を $\sum$ を使って表してみて？
それは流石にできます。こうですね。
$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{10}k^2$
OK！じゃあ次の $\myhako$ に当てはまる数式を考えてみて？
$\displaystyle S=\sum_{k=3}^{12}\myhako$
$k$ の値が２つずれているだけですね。
$\displaystyle S=\sum_{k=3}^{12}(k-2)^2$
いいね！では次はどうなる？
$\displaystyle S=\sum_{k=0}^{10}\myhako$
最後の $k$ が 10 だから・・・$\displaystyle \sum_{k=0}^{10}k^2$ とすると・・・最初の $k=0$ のときは $0^2=0$ ・・・なるほど！
こうですね！
$\displaystyle S=\sum_{k=0}^{10}k^2$
$k=0$ のときは $0^2=0$ だから足しても足さなくても同じだから，これでいいんですね！
そうだね！
でもこの変形って意味ありますか？
シグマを用いた式変形にはかなり意味があるよ。とりあえず次行ってみよう。
え？まだやるんですか？
次で最後だから。というかここからが重要なんだよ。
加える順番を変えても和は変わらないよね？だから $S$ は
$\displaystyle S=10^2+9^2+8^2+\cdots+1^2$
と書き直すことができる。これを $\sum$ を使って表すとどうなる？
$k$ は 1 ずつ増えるのに，加える値を減らす変形なんてどうすればいいんですか？
中学校で習った「規則性」の問題を思い出そう。まずは変化している部分だけに着目しよう。$k$ の値は 1,2,3,・・・と1ずつ増えている。これに対して，加える値の2乗の中身は，10,9,8,・・・と1ずつ減っている。
変化する２数の和を考えると，最初は $1+10=11$，次も $2+9=11$，３番目も $3+8=11$ となっていることから２数の和は 11 で一定なのかな？と予想できるよね。
実際に，一方（$k$ の値）が１増えて，もう一方（2乗の中身）が１減ってるんだから，その２数の和は一定になるのは当然だよね。今回の問題ではその２数の和が11ってことになるね。
なるほど！
このことから，1番目の2乗の中身は $11-1$ と書くことができるね。2番目の2乗の中身は $11-2$ となるね。じゃあ $k$ 番目の2乗の中身はどうなるかな？
$11-k$ ですか？
そうだね。だから，
$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{10}(11-k)^2$
と表すことができる。
ふ～・・・やっと基本が終わったか・・・
たった１つの式
$S=1^2+2^2+3^2+\cdots+10^2$
でも色々な表し方があることが分かったね。
&S=\sum_{k=1}^{10}k^2\ （素直な表し方）\\
&=\sum_{k=3}^{12}(k-2)^2\ （2\,だけずらした） \\
&=\sum_{k=0}^{10}k^2\ （最初の項が\,0） \\
&=\sum_{k=1}^{10}(11-k)^2\ （加える順番を逆にした）
\end{align*}