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【数学ⅡB】三角関数のグラフ【対称性・周期】

三角関数のグラフ数学IAIIB

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三角関数のグラフの対称性

ヒロ
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$y=\sin\theta$,$y=\cos\theta$,$y=\tan\theta$ のグラフの対称性について理解しておこう。

ヒロ
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そのために,偶関数と奇関数について知っておこう。

偶関数と奇関数関数 $f(x)$ について,$f(-x)=f(x)$ が成り立つものを偶関数といい,$f(-x)=-f(x)$ が成り立つものを奇関数という。偶関数のグラフは $y$ 軸に関して対称であり,奇関数のグラフは原点に関して対称である。
ヒロ
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偶関数・奇関数に着目して,基本的な三角関数のグラフの対称性を理解しよう。

【三角関数のグラフの対称性】
$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ であるから,$y=\sin\theta$ は奇関数であり,そのグラフは原点に関して対称である。
y=sin xは奇関数で原点に関して対称なグラフ
$\cos(-\theta)=\cos\theta$ であるから,$y=\cos\theta$ は偶関数であり,そのグラフは $y$ 軸に関して対称である。
y=cos xは偶関数でy軸に関して対称なグラフ
$\tan(-\theta)=-\tan\theta$ であるから,$y=\tan\theta$ は奇関数であり,そのグラフは原点に関して対称である。
y=tan xは奇関数で原点に関して対称なグラフ

三角関数のグラフの周期性

ヒロ
ヒロ

三角関数のグラフは,円周上の点と連動する点によって描かれるため,同じことが繰り返されるグラフとなる。

ヒロ
ヒロ

「同じことが一定間隔で繰り返されること」を「周期的」というため,三角関数のグラフは「周期的なグラフ」である。

周期関数とは関数 $f(x)$ において,ある定数 $p$ に対して
\begin{align*}
f(x+p)=f(x)
\end{align*}
が成り立つとき,$f(x)$ を周期関数といい,定数 $p$ を $f(x)$ の周期という。
周期が複数ある場合は,正の値の最小のものを基本周期という。また,基本周期のことを単に周期ということが多い。
ヒロ
ヒロ

基本的な三角関数の周期を理解しよう。

【三角関数の周期】
$n$ を整数とすると
\begin{align*}
&\sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta \\[4pt]
&\cos(\theta+2n\pi)=\cos\theta \\[4pt]
&\tan(\theta+n\pi)=\tan\theta
\end{align*}
が成り立つから,$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の基本周期はともに $2\pi$ であり,$\tan\theta$ の基本周期は $\pi$ である。
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