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【数学IA】2次関数のグラフと2次方程式

2次関数のグラフと2次方程式数学IAIIB
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ここでは2次関数のグラフと2次方程式の関係について説明します。

高校数学において,グラフと方程式の関係は非常に重要です。

グラフの位置関係と方程式の解の関係の行き来が自由にできるようになると,解ける問題の種類が多くなります。

柔軟に考えることができるようになりましょう。

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2次関数のグラフと2次方程式の解の関係

ヒロ
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2次関数のグラフと2次方程式の解の関係を知ろう。

【放物線と2次方程式の解の関係】
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は連立方程式
\begin{align*}
\begin{cases}
y=ax^2+bx+c \\[4pt]y=0
\end{cases}\cdots\cdots①
\end{align*}
から $y$ を消去した方程式とみることができる。
座標平面上でグラフを描くと $y=ax^2+bx+c$ のグラフは放物線 $C$ になり,$y=0$ のグラフは直線($x$ 軸)になる。
$ax^2+bx+c=0$ の解は連立方程式①の解 $x$ であり,放物線 $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標である。
つまり,2次方程式の解の個数を調べる方法が1つ増えたことになる。判別式だけでなく,グラフの共有点の個数として,目で見て調べることができる。
ヒロ
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別の見方もできる。

【関数のグラフと方程式の解の関係】
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ は連立方程式
\begin{align*}
\begin{cases}
y=ax^2 \\[4pt]y=-bx-c
\end{cases}\cdots\cdots③
\end{align*}
から $y$ を消去した方程式とみることができる。
座標平面上でグラフを描くと $y=ax^2$ のグラフは放物線 $C$ になり,$y=-bx-c$ のグラフは直線 $l$ になる。
$ax^2+bx+c=0$ の解は連立方程式③の解 $x$ であり,放物線 $C$ と直線 $l$ の共有点の $x$ 座標である。
ヒロ
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まとめると次のようになる。

【放物線と直線の共有点】
放物線 $C:y=ax^2+bx+c$ と直線 $l:y=px+q$ の共有点の座標 $(x,~y)$ は連立方程式
\begin{align*}
\begin{cases}
y=ax^2+bx+c \\[4pt]y=px+q
\end{cases}
\end{align*}
の実数解 $(x,~y)$ として表される。$y$ を消去して得られる $x$ の2次方程式
\begin{align*}
ax^2+bx+c=px+q\cdots\cdots(*)
\end{align*}
の実数解が共有点の $x$ 座標となる。方程式(*)の判別式を $D$ とする。
(*)が異なる2つの実数解をもつ($D>0$)$\Longleftrightarrow$ $C$ と $l$ は異なる2点で交わる
(*)が重解をもつ($D=0$)$\Longleftrightarrow$ $C$ と $l$ は接する
(*)が実数解をもたない($D<0$)$\Longleftrightarrow$ $C$ と $l$ は共有点をもたない

2次関数のグラフと2次方程式の解に関する問題

ヒロ
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それでは問題を解いて慣れていこう。

問題次の条件を満たすように,定数 $m$ の値の範囲を,それぞれ定めよ。
(1) 2次関数 $y=x^2+6x-m$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる。
(2) 2次関数 $y=2x^2-3x+2m-3$ が $x$ 軸と共有点をもたない。
(3) 2次関数 $y=x^2-5x+m$ が $x$ 軸と共有点をもつ。
ヒロ
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グラフの位置関係を方程式の解の条件に書き換えることができるようにしよう。

【(1)の考え方と解答】
条件を満たすのは,$x^2+6x-m=0$ が異なる2つの実数解をもつときである。判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}=(-3)^2+m=m+9
\end{align*}
であり,$D>0$ であるから
\begin{align*}
&m+9>0 \\[4pt]
&m>-9
\end{align*}

(2) 2次関数 $y=2x^2-3x+2m-3$ が $x$ 軸と共有点をもたない。

【(2)の考え方と解答】
条件を満たすのは,$2x^2-3x+2m-3=0$ が実数解をもたないときである。判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
D=(-3)^2-8(2m-3)=-16m+33
\end{align*}
であり,$D<0$ であるから
\begin{align*} &-16m+33<0 \\[4pt] &m>\dfrac{33}{16}
\end{align*}

(3) 2次関数 $y=x^2-5x+m$ が $x$ 軸と共有点をもつ。

ヒロ
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共有点の個数が書かれていない場合は,少なくとも1個の共有点をもつと解釈しよう。

【(3)の考え方と解答】
条件を満たすのは,$x^2-5x+m=0$ が少なくとも1つの実数解をもつときである。判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
D=(-5)^2-4m=-4m+25
\end{align*}
であり,$D\geqq0$ であるから
\begin{align*}
&-4m+25\geqq0 \\[4pt]
&m\leqq\dfrac{25}{4}
\end{align*}

2次関数のグラフと2次方程式の解に関する問題2

問題$k$ は定数とする。放物線 $y=x^2+3x+2$ と直線 $y=x+k$ の共有点の個数を調べよ。
ヒロ
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グラフを描いて調べることもできるが,放物線と直線が接する $k$ の値を求めるために,数学IIで学習する微分や2乗に比例する関数の性質を知らない場合は,結局判別式を利用することになる。

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したがって,ここでは判別式を用いた解法で説明する。

【考え方と解答】
$y=x^2+3x+2$ と $y=x+k$ を連立して $y$ を消去すると
\begin{align*}
x^2+2x-k+2=0\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。放物線 $y=x^2+3x+2$ と直線 $y=x+k$ の共有点の個数は方程式①の実数解の個数に等しい。
①の判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}&=(-1)^2-(-k+2) \\[4pt]
&=k-1
\end{align*}
$D>0$ となるのは,$k>1$
$D=0$ となるのは,$k=1$
$D<0$ となるのは,$k<1$ したがって,共有点の個数は  $k>1$ のとき2,$k=1$ のとき1,$k<1$ のとき0

2次関数のグラフと2次方程式の解に関する問題3

問題2次関数 $y=x^2+2(a-1)x-3a+5$ のグラフが $x$ 軸と接するような $a$ の値を求めよ。また,そのときの接点の座標を求めよ。
【考え方と解答】
条件を満たすのは
\begin{align*}
x^2+2(a-1)x-3a+5=0\cdots\cdots①
\end{align*}
が重解をもつときであるから,判別式を $D$ とすると $D=0$ となる。
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}&=(a-1)^2-3a+5 \\[4pt]
&=a^2-5a+6 \\[4pt]
&=(a-2)(a-3)
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
&(a-2)(a-3)=0 \\[4pt]
&a=2,~3
\end{align*}
次に接点の座標を求める。接点は $x$ 軸上にあることから $y$ 座標は0である。$x$ 座標は①の実数解であるから,$a=2,~3$ を代入して解けば良いが,ここではそのまま解かない方法で解説しておく。
ヒロ
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2次方程式の重解について整理しておこう。

【2次方程式の重解】
2次方程式 $ax^2+bx+c=0\cdots\cdots(*)$ を解の公式で解くと
\begin{align*}
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}
\end{align*}
となる。ただし,$D=b^2-4ac$ とする。(*)が重解をもつとき,$D=0$ となるから重解は $x=-\dfrac{b}{2a}$ となる。
2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点に着目すると,$y=ax^2+bx+c$ の軸の方程式は $x=-\dfrac{b}{2a}$ となり,重解と一致する。これは放物線と $x$ 軸が接するときは頂点で接するから,この結果を当たり前と感じることができれば,$x^2$ と $x$ の係数だけを見て,重解を求めることができるようになる。
【考え方と解答の続き】
方程式①($x^2+2(a-1)x-3a+5=0$)の重解は $x=-a+1$ で,これが接点の $x$ 座標であるから,求める接点の座標は次のようになる。
$a=2$ のとき,$(-1,~0)$
$a=3$ のとき,$(2,~0)$
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