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【数学IA】補集合の要素の個数

補集合の要素の個数数学IAIIB
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全体集合のある部分集合の要素の個数を数えるときに,その部分集合に属さない要素の個数を数えた方が速い場合があります。

上の記事の最後の問題は,6の倍数の個数に関する問題でした。

例えば6の倍数以外の個数を求める場合は,数えやすい6の倍数の個数を求めて全体から引いた方が楽ですね。

このように,調べたい集合以外,つまり補集合の要素の個数を調べることで,調べたい集合の要素の個数を求めることができます。

ここでは補集合の要素の個数について説明します。

しっかり理解して定期テストでも得点できるようにしましょう。

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補集合の要素の個数

ヒロ
ヒロ

補集合の要素の個数について,公式にするまでもないが,一応書いておく。

補集合の要素の個数全体集合を $U$ とし,その部分集合 $A$ の補集合 $\overline{A}$ を考えると
\begin{align*}
A\cup\overline{A}=U,~A\cap\overline{A}=\emptyset
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
&n(A)+n(\overline{A})=n(U) \\[4pt]&n(\overline{A})=n(U)-n(A)
\end{align*}
全体集合と補集合

補集合の要素の個数に関する問題

ヒロ
ヒロ

それでは実際に定期テストで出題された問題を解いてみよう。

問題500以上1000以下の整数のうち,11の倍数でない整数は何個あるか。
ヒロ
ヒロ

11の倍数の個数を求めて全体から引いて求めよう。

【考え方と解答】
500以上1000以下の整数を全体集合 $U$ とし,その部分集合で11の倍数の集合を $A$ とする。
\begin{align*}
n(U)=1000-500+1=501
\end{align*}
集合 $A$ の要素は
\begin{align*}
A=\{11\Cdota46,~11\Cdota47,~\cdots,~11\Cdota90\}
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
n(A)=90-46+1=45
\end{align*}
よって,求める個数は
\begin{align*}
n(\overline{A})&=n(U)-n(A) \\[4pt]
&=501-45 \\[4pt]
&=456~個
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

連続した整数の個数の求め方については,次の記事を参考にして,正確に求められるようにしよう。

補集合の要素の個数に関する問題2

ヒロ
ヒロ

次も定期テストで出題された問題。

問題1000以下の自然数のうち,次の数は何個あるか。
(1) 2で割り切れない整数
(2) 2でも7でも割り切れない整数
ヒロ
ヒロ

(1)も(2)も「○○ない」と否定形で書かれているね。

ヒロ
ヒロ

否定形で書かれている場合は,補集合の要素の個数を数えることを考えてみよう。

ヒロ
ヒロ

常に補集合を考えるというのではなく,そのまま考えた場合の方が楽な場合もあるので注意。

【(1)の考え方と解答】
練習のため,補集合を利用して考える。
2で割り切れる整数の集合を $A$ とすると,求める個数は $n(\overline{A})$ である。集合 $A$ の要素は
\begin{align*}
A=\{2\Cdota1,~2\Cdota2,~\cdots,~2\Cdota500\}
\end{align*}
となるから,$n(A)=500$ である。
$n(U)=1000$ であるから
\begin{align*}
n(\overline{A})&=n(U)-n(A) \\[4pt]&=1000-500 \\[4pt]&=500
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

今回の場合は1(奇数)から始まって1000(偶数)で終わる集合を考えているから,奇数と偶数が500個ずつあると分かる。

ヒロ
ヒロ

2で割り切れない整数は奇数だから,(1)の答えは500個だと分かる。

(2) 2でも7でも割り切れない整数

【(2)の考え方と解答】
「2でも7でも割り切れない」を言い換えると「2で割り切れない かつ 7で割り切れない」となる
から,ド・モルガンの法則を利用すると,「2で割り切れる または 7で割り切れる」となる。
2で割り切れる整数の集合を $A$,7で割り切れる整数の集合を $B$ とすると,求める個数は $n(\overline{A}\cap\overline{B})$ となる。
ド・モルガンの法則より
\begin{align*}
n(\overline{A}\cap\overline{B})=n(\overline{A\cup B})
\end{align*}
となり,補集合の要素の個数を考えると
\begin{align*}
n(\overline{A\cup B})=n(U)-n(A\cup B)
\end{align*}
また,和集合の要素の個数を考えると
\begin{align*}
n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
n(\overline{A}\cap\overline{B})&=n(\overline{A\cup B}) \\[4pt]&=n(U)-n(A\cup B) \\[4pt]&=n(U)-\{n(A)+n(B)-n(A\cap B)\}~\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。ここで,集合 $B$ の要素は
\begin{align*}
B=\{7\Cdota1,~7\Cdota2,~\cdots,~7\Cdota142\}
\end{align*}
となるから,$n(B)=142$ である。$A\cap B$ は,2と7の最小公倍数14の倍数全体を表す $U$ の部分集合である。
\begin{align*}
A\cap B=\{14\Cdota1,~14\Cdota2,~\cdots,~14\Cdota71\}
\end{align*}
より,$n(A\cap B)=71$ となる。①より
\begin{align*}
n(\overline{A}\cap\overline{B})&=1000-(500+142-71) \\[4pt]&=429
\end{align*}
したがって,求める個数は429個である。
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