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2つの放物線で囲まれる領域と分数式の最大値【酪農学園大】
2020年 酪農学園大連立不等式
(1) 領域 A を図示せよ。
(2) 点 (x, y) が領域 A を動くとき，2y−16x−5 の最大値とそのときの (x, y) を求めよ。
y≧x2−1, y≦−x2+4x+5
の表す領域を A とする。次の各問いに答えよ。(1) 領域 A を図示せよ。
(2) 点 (x, y) が領域 A を動くとき，2y−16x−5 の最大値とそのときの (x, y) を求めよ。
【(1)の考え方と解答】
領域 A の境界線は，次の2つの放物線である。
したがって，求める領域 A は下図の斜線部分（境界を含む）である。
領域 A の境界線は，次の2つの放物線である。
C1:y=x2−1C2:y=−x2+4x+5
2つの放物線の交点を求める。二式より y を消去すると2x2−4x−6=0x2−2x−3=0(x−3)(x+1)=0x=−1, 3
よって，2つの放物線は2点 (−1, 0)，(3, 8) で交わる。したがって，求める領域 A は下図の斜線部分（境界を含む）である。
(2) 点 (x, y) が領域 A を動くとき，2y−16x−5 の最大値とそのときの (x, y) を求めよ。
【(2)の考え方と解答】
まず，分母が x−5 より，x≠5 である。
2y−16x−5=k とおくと，
2y−16=k(x−5)y=k2(x−5)+8
となるから，これは点A(5, 8) を通り，傾き k2 の直線であり，l とする。しかし，x≠5 であるから，実際には点Aを通ることはなく，除かなければならない。
k が最大になるのは，傾きが最大になるときであり，直線 l が C1 と接するときである。
l, C1 の方程式から y を消去して
x2−1=k2(x−5)+82x2−kx+5k−18=0
判別式を D1 とすると D1=0 であるからD1=k2−8(5k−18)=0k2−40k+144=0(k−4)(k−36)=0k=4, 36
接点の x 座標は k4 であり，−1≦x≦2 をみたすのは k=4 のときである。このとき，接点の座標は (1, 0) である。graphs-of-inequalities-and-max-and-min-part2-06.png
よって，(x, y)=(1, 0) のとき，2y−16x−5 は最大値4をとる。