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【数学ⅡB】導関数と微分【大阪工業大・岡山理科大・福島県立医科大】

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導関数と微分数学IAIIB

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2018年 大阪工業大

2018年 大阪工業大関数 $f(x)=x^3-x^2+ax+3$ について,次の問いに答えよ。ただし,$a$ は実数の定数とする。
(1) 導関数 $f'(x)$ を求めよ。
(2) $f'(a)=2f(a)$ であるとき,$a$ の値を求めよ。
【(1)の解答と考え方】
導関数の公式を利用しよう。$f(x)=x^3-x^2+ax+3$ より
\begin{align*}
f'(x)=3x^2-2x+a
\end{align*}

(2) $f'(a)=2f(a)$ であるとき,$a$ の値を求めよ。

【(2)の解答と考え方】
$f'(a)=3a^2-2a+a=3a^2-a$ であるから,$f'(a)=2f(a)$ より
\begin{align*}
&3a^2-a=2(a^3-a^2+a^2+3) \\[4pt]
&2a^3-3a^2+a+6=0 \\[4pt]
&(a+1)(a^2-4a+6)=0
\end{align*}
ここで $a$ は実数であるから
\begin{align*}
a^2-4a+6=(a-2)^2+2>0
\end{align*}
となる。よって
\begin{align*}
&a+1=0 \\[4pt]
&a=-1
\end{align*}

2020年 岡山理科大

ヒロ
ヒロ

定義にしたがって導関数を求める問題は,定期テストによく出題されるが,大学入試で出題されることもある。

2020年 岡山理科大導関数の定義に従って,$f(x)=x^5$ の導関数を求めよ。
【解答と考え方】
数学IIの微分の基礎とも言える公式の証明ができるかどうかが問われている。
\begin{align*}
f'(x)&=\dlim{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[4pt]
&=\dlim{h\to0}\dfrac{(x+h)^5-x^5}{h} \\[4pt]
&=\dlim{h\to0}\dfrac{\nCk{5}{1}x^4h+\nCk{5}{2}x^3h^2+\nCk{5}{3}x^2h^3+\nCk{5}{4}xh^4+h^5}{h} \\[4pt]
&=\dlim{h\to0}(\nCk{5}{1}x^4+\nCk{5}{2}x^3h+\nCk{5}{3}x^2h^2+\nCk{5}{4}xh^3+h^4) \\[4pt]
&=\nCk{5}{1}x^4 \\[4pt]
&=5x^4
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

上の解答では,二項定理を利用している。

ヒロ
ヒロ

二項定理についての理解があやふやな場合は復習しておくと良いだろう。

2013年 福島県立医科大

2013年 福島県立医科大$n$ は自然数とする。導関数の定義にしたがって,関数 $f(x)=x^n$ の導関数を求めよ。
【解答と考え方】
医学部などのレベルの高い大学を受験する場合は,このような公式の導出問題も解けるようにしておこう。
\begin{align*}
f'(x)&=\dlim{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\[4pt]&=\dlim{h\to0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h} \\[4pt]&=\dlim{h\to0}\dfrac{\nCk{n}{1}x^{n-1}h+\nCk{n}{n-2}x^{n-2}h^2+\cdots+\nCk{n}{n-1}xh^{n-1}+h^n}{h} \\[4pt]&=\dlim{h\to0}(\nCk{n}{1}x^{n-1}+\nCk{n}{n-2}x^{n-2}h+\cdots+\nCk{n}{n-1}xh^{n-2}+h^{n-1}) \\[4pt]&=\nCk{n}{1}x^{n-1} \\[4pt]&=nx^{n-1}
\end{align*}
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