休校だからこそ重要な自宅学習

外積を利用した2つのベクトルに垂直なベクトルの求め方とは?

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外積とは数学IAIIB

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垂線の足の座標

ヒロ
ヒロ

ちなみに,問題では求めることは聞かれてないけど,点Hの座標もついでに求めておこう。

ヒロ
ヒロ

さっきの内積の計算で $\vec{n}\Cdot\Vec{AD}<0$ となったけど,これから分かることは?

$\vec{n}$ と $\Vec{AD}$ のなす角が鈍角ってことですか?

ヒロ
ヒロ

そうだね!

内積と $\vec{a},\vec{b}$ のなす角 $\theta$ の関係

 

$\vec{a}\Cdot\vec{b}>0$ のとき,$\theta$ は鋭角
$\vec{a}\Cdot\vec{b}=0$ のとき,$\theta$ は直角
$\vec{a}\Cdot\vec{b}<0$ のとき,$\theta$ は鈍角

ヒロ
ヒロ

今回は内積が負だから,最初に描いた図の $\vec{n}$ の向きは,実は逆向きだったと分かるね。

平面ABCの単位法線ベクトルとベクトルDH

なるほど!

ヒロ
ヒロ

あとはDHの長さが $\dfrac{1}{\sqrt6}$ ということを考えれば,$\Vec{DH}$ を求めることができるね。

\begin{align*}
\Vec{DH}&=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\vec{n} \\[4pt]&=\dfrac{1}{\sqrt{6}}\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{6}}(2,-1,1) \\[4pt]&=\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6}\right)
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\Vec{OH}&=\Vec{OD}+\Vec{DH} \\[4pt]&=(1,1,1)+\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{6}\right) \\[4pt]&=\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{6},\dfrac{7}{6}\right)
\end{align*}
したがって,点Hの座標は $\left(\dfrac{4}{3},\dfrac{5}{6},\dfrac{7}{6}\right)$

分かりました!

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