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【数学IA】命題の逆・裏・対偶

命題の逆・裏・対偶数学IAIIB
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命題の逆・裏・対偶について説明します。

新しい用語が出てきたときは,まずはそれらの用語の意味を正しく覚えることが大切です。

用語を正しく覚えていないと,問題文を理解できなかったり,授業を聞いても何を言っているのか分からなくなったりします。

そんなことにならないためにも,新規に出てきた用語については,正しい意味を理解して覚えるようにしましょう。

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命題の逆・裏・対偶

ヒロ
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まずは逆・裏・対偶とは何かを知ろう。

命題の逆・裏・対偶命題 $p\Longrightarrow q$ に対して
  $q\Longrightarrow p$ を元の命題の逆
  $\overline{p}\Longrightarrow\overline{q}$ を元の命題の裏
  $\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$ を元の命題の対偶
という。
命題の逆・裏・対偶
ヒロ
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2つの条件を入れ換えて矢印の向きを逆になったものを「逆」というのは覚えやすいだろう。

ヒロ
ヒロ

逆の裏を「対偶」というのを覚えておこう。

命題の逆・裏・対偶の真偽

ヒロ
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ある命題の真偽とその命題の逆・裏・対偶の真偽の関係について,知っておくべきことがある。

対偶命題の真偽元の命題と対偶命題の真偽は一致する。
ヒロ
ヒロ

元の命題が真であれば,その対偶も真だし,元の命題が偽であれば,その対偶も偽となることを知っておこう。

ヒロ
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また逆と裏については真偽の関係は特に決まっていないので,その都度,真になるか偽になるかを考えよう。

命題の逆・裏・対偶に関する問題

問題$x$ は実数とする。次の命題の逆・裏・対偶を述べ,それらの真偽を答えよ。
\begin{align*}
x^2-x=0 \Longrightarrow「x=0~または~x=1」
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

逆・裏・対偶の定義と否定の作り方が分かっていれば大丈夫だろう。

【逆】
「$x=0$ または $x=1$」$\Longrightarrow x^2-x=0$
$x=0$ のとき
\begin{align*}
x^2-x=0^2-0=0
\end{align*}
$x=1$ のとき
\begin{align*}
x^2-x=1^2-1=0
\end{align*}
となり成り立つから真である。
ヒロ
ヒロ

「$A$ または $B$」を聞くと,いずれか一方というイメージが強いが,実際には共通部分($A\cap B$)も含む。

ヒロ
ヒロ

しかし今回のような「$x=0$ または $x=1$」の場合は共通部分は存在しない。

ヒロ
ヒロ

したがって,1つずつ成り立つかどうかを調べれば真偽を判定できる。

【裏】
$x^2-x\neq0\Longrightarrow$「$x\neq0$ かつ $x\neq1$」
逆と裏は対偶の関係にあり,逆が真であるから裏も真である。
ヒロ
ヒロ

元の命題と対偶命題の真偽が一致することは上で書いたけど,逆と裏も対偶の関係にあることを理解しよう。

【対偶】
「$x\neq0$ かつ $x\neq1$」$\Longrightarrow x^2-x\neq0$
元の命題の真偽を考える。
$x^2-x=0$ のとき
\begin{align*}
&x(x-1)=0 \\[4pt]
&x=0~または~x=1
\end{align*}
元の命題が真であるから,対偶も真である。
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