Contents
- ページ1
- 1 2進数を4進数に変換する問題
- ページ2
- 1 $n$ 進数の桁数に関する問題
- ページ3
- 1 $n$ 進法と場合の数
$n$ 進数の桁数に関する問題
2019年 京都産業大正の整数を8進法で表し，次のように左から小さい順に並べる。
8進法で表すと4桁になる最小の数を2進法で表すと $\myhako$ 桁であり，8進法で表すと4桁になる最大の数を2進法で表すと $\myhako$ 桁である。
\begin{align*}
1_{(8)},~2_{(8)},~3_{(8)},~\cdots,~7_{(8)},~10_{(8)},~11_{(8)},~\cdots,~17_{(8)},~20_{(8)},~21_{(8)},~\cdots
\end{align*}
700番目の数は $\myhako_{(8)}$ である。1_{(8)},~2_{(8)},~3_{(8)},~\cdots,~7_{(8)},~10_{(8)},~11_{(8)},~\cdots,~17_{(8)},~20_{(8)},~21_{(8)},~\cdots
\end{align*}
8進法で表すと4桁になる最小の数を2進法で表すと $\myhako$ 桁であり，8進法で表すと4桁になる最大の数を2進法で表すと $\myhako$ 桁である。
【考え方と解答】
8進法で表されているから見た目がいつもと違うだけで，結局は正の整数が小さい順に並んでいるのだから，700番目の数は10進法では700である。したがって，700を8進法で表せばよい。
$7777_{(8)}＝2^{12}-1$ であることを考えると，$7777_{(8)}$ は2進法で表すと12桁である。
8進法で表されているから見た目がいつもと違うだけで，結局は正の整数が小さい順に並んでいるのだから，700番目の数は10進法では700である。したがって，700を8進法で表せばよい。
\begin{align*}
700&=8^3+188=8^3+8^2\times2+60 \\[4pt]
&=8^3+8^2\times2+8\times7+4 \\[4pt]
&=1274_{(8)}
\end{align*}
8進法で表すと4桁になる最小の数は，$1000_{(8)}$ であるから，これを2進法で表そう。700&=8^3+188=8^3+8^2\times2+60 \\[4pt]
&=8^3+8^2\times2+8\times7+4 \\[4pt]
&=1274_{(8)}
\end{align*}
\begin{align*}
1000_{(8)}&=8^3=2^9 \\[4pt]
&=1000000000_{(2)}
\end{align*}
であるから2進法で表すと10桁である。また，8進法で表すと4桁になる最大の数は，$7777_{(8)}$ であるから，これを2進法で表せばよい。しかし計算が面倒なので工夫しよう。1000_{(8)}&=8^3=2^9 \\[4pt]
&=1000000000_{(2)}
\end{align*}
\begin{align*}
7777_{(8)}+1&=10000_{(8)}=8^4=2^{12}
\end{align*}
となることから，$7777_{(8)}+1$ は2進法で13桁の最小の数となる。7777_{(8)}+1&=10000_{(8)}=8^4=2^{12}
\end{align*}
$7777_{(8)}＝2^{12}-1$ であることを考えると，$7777_{(8)}$ は2進法で表すと12桁である。